Ensembles finis Exemples

$- 7 x - y + 2 z = - 9$ , $4 y + 2 z = - 12$ , $- 6 x + 5 y + 5 z = - 26$

Étape 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 1 & 2 & - 9 \\ 0 & 4 & 2 & - 12 \\ - 6 & 5 & 5 & - 26 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 1 & - \frac{1}{7} \cdot 2 & - \frac{1}{7} \cdot - 9 \\ 0 & 4 & 2 & - 12 \\ - 6 & 5 & 5 & - 26 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 4 & 2 & - 12 \\ - 6 & 5 & 5 & - 26 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 4 & 2 & - 12 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 5 + 6 (\frac{1}{7}) & 5 + 6 (- \frac{2}{7}) & - 26 + 6 (\frac{9}{7}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 4 & 2 & - 12 \\ 0 & \frac{41}{7} & \frac{23}{7} & - \frac{128}{7} \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{- 12}{4} \\ 0 & \frac{41}{7} & \frac{23}{7} & - \frac{128}{7} \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - 3 \\ 0 & \frac{41}{7} & \frac{23}{7} & - \frac{128}{7} \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{41}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{41}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - 3 \\ 0 - \frac{41}{7} \cdot 0 & \frac{41}{7} - \frac{41}{7} \cdot 1 & \frac{23}{7} - \frac{41}{7} \cdot \frac{1}{2} & - \frac{128}{7} - \frac{41}{7} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - 3 \\ 0 & 0 & \frac{5}{14} & - \frac{5}{7} \end{array}]$

Étape 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{14}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{14}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - 3 \\ \frac{14}{5} \cdot 0 & \frac{14}{5} \cdot 0 & \frac{14}{5} \cdot \frac{5}{14} & \frac{14}{5} (- \frac{5}{7}) \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - 3 - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & - \frac{2}{7} & \frac{9}{7} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{7} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{7} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{7} \cdot 0 & \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \cdot 0 & - \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \cdot 1 & \frac{9}{7} + \frac{2}{7} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{7} & 0 & \frac{5}{7} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{7} \cdot 0 & \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 & \frac{5}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 1$

$y = - 2$

$z = - 2$

Étape 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(1, - 2, - 2)$