Ensembles finis Exemples

$28 x + 40 y + 32 z = 30000$ , $x + y + z = 1000$

Étape 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 28 & 40 & 32 & 30000 \\ 1 & 1 & 1 & 1000 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{28}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{28}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{28}{28} & \frac{40}{28} & \frac{32}{28} & \frac{30000}{28} \\ 1 & 1 & 1 & 1000 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{10}{7} & \frac{8}{7} & \frac{7500}{7} \\ 1 & 1 & 1 & 1000 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{10}{7} & \frac{8}{7} & \frac{7500}{7} \\ 1 - 1 & 1 - \frac{10}{7} & 1 - \frac{8}{7} & 1000 - \frac{7500}{7} \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{10}{7} & \frac{8}{7} & \frac{7500}{7} \\ 0 & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & - \frac{500}{7} \end{array}]$

Étape 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{10}{7} & \frac{8}{7} & \frac{7500}{7} \\ - \frac{7}{3} \cdot 0 & - \frac{7}{3} (- \frac{3}{7}) & - \frac{7}{3} (- \frac{1}{7}) & - \frac{7}{3} (- \frac{500}{7}) \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{10}{7} & \frac{8}{7} & \frac{7500}{7} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{500}{3} \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{10}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{10}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{10}{7} \cdot 0 & \frac{10}{7} - \frac{10}{7} \cdot 1 & \frac{8}{7} - \frac{10}{7} \cdot \frac{1}{3} & \frac{7500}{7} - \frac{10}{7} \cdot \frac{500}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{500}{3} \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2500}{3} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{500}{3} \end{array}]$

Étape 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{2}{3} z = \frac{2500}{3}$

$y + \frac{1}{3} z = \frac{500}{3}$

Étape 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{2500}{3} - \frac{2 z}{3}, \frac{500}{3} - \frac{z}{3}, z)$