Ensembles finis Exemples

$1 x + 1 y + 1 z + 1 w = 7$ , $1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$ , $2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$ , $3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + 1 y + 1 z + 1 w = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$x + y + 1 z + 1 w = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.1.3

Multipliez $z$ par $1$ .

$x + y + z + 1 w = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.1.4

Multipliez $w$ par $1$ .

$x + y + z + w = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

$x + y + z + w = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.2

Déplacez $z$ .

$x + y + w + z = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.3

Déplacez $y$ .

$x + w + y + z = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $w$ .

$w + x + y + z = 7$

$1 w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $w$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + 1 x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + 1 y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - 1 z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.5.4

Réécrivez $- 1 z$ comme $- z$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + 1 z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Multipliez $z$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + z + 1 w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.6.2

Multipliez $w$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + z + w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + z + w = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.7

Déplacez $z$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + 3 y + w + z = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.8

Déplacez $3 y$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$2 x + w + 3 y + z = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.9

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $w$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$w + 2 x + 3 y + z = 19$

$3 w - 1 x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$w + 2 x + 3 y + z = 19$

$3 w - x + 1 y + 2 z = 16$

Étape 1.10.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$w + 2 x + 3 y + z = 19$

$3 w - x + y + 2 z = 16$

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$w + 2 x + 3 y + z = 19$

$3 w - x + y + 2 z = 16$

$w + x + y + z = 7$

$w + x + y - z = 3$

$w + 2 x + 3 y + z = 19$

$3 w - x + y + 2 z = 16$

Étape 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 19 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 & 16 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 1 - 1 & - 1 - 1 & 3 - 7 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 19 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 & 16 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 19 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 & 16 \end{array}]$

Étape 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 3 - 1 & 1 - 1 & 19 - 7 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 & 16 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 3 & - 1 & 1 & 2 & 16 \end{array}]$

Étape 3.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 \cdot 1 & 16 - 3 \cdot 7 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & - 4 & - 2 & - 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 3.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 & - 4 & - 2 & - 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 3.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 2 + 4 \cdot 2 & - 1 + 4 \cdot 0 & - 5 + 4 \cdot 12 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \\ 0 & 0 & 6 & - 1 & 43 \end{array}]$

Étape 3.6

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 6 & - 1 & 43 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ \frac{0}{6} & \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- 1}{6} & \frac{43}{6} \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{6} & \frac{43}{6} \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.8

Multiply each element of $R_{4}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{6} & \frac{43}{6} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{6} & \frac{43}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.9

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{1}{6} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{1}{6} R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 + \frac{1}{6} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{6} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 1 & \frac{43}{6} + \frac{1}{6} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.10

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 7 - 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.10.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.11

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 12 - 2 (\frac{15}{2}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.11.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.12

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 5 - \frac{15}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.12.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.13

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & - \frac{5}{2} + 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 3.13.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{15}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$w = \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{15}{2}$

$z = 2$

Étape 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{1}{2}, - 3, \frac{15}{2}, 2)$