Ensembles finis Exemples

$0 = c$ , $24 = 16 a - 4 b + c$ , $14 = a + b + c$

Étape 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$24 = 16 a - 4 b + c$

$14 = a + b + c$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $16 a$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$24 - 16 a = - 4 b + c$

$14 = a + b + c$

Étape 1.2.2

Ajoutez $4 b$ aux deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$24 - 16 a + 4 b = c$

$14 = a + b + c$

Étape 1.2.3

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$24 - 16 a + 4 b - c = 0$

$14 = a + b + c$

$- c = 0$

$24 - 16 a + 4 b - c = 0$

$14 = a + b + c$

Étape 1.3

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$14 = a + b + c$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$14 - a = b + c$

Étape 1.4.2

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$14 - a - b = c$

Étape 1.4.3

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$14 - a - b - c = 0$

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$14 - a - b - c = 0$

Étape 1.5

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$- a - b - c = - 14$

$- c = 0$

$- 16 a + 4 b - c = - 24$

$- a - b - c = - 14$

Étape 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 16 & 4 & - 1 & - 24 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 16 & 4 & - 1 & - 24 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Étape 3.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 24 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 14 \end{array}]$

Étape 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{4} & - 1 + \frac{1}{16} & - 14 + \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{15}{16} & - \frac{25}{2} \end{array}]$

Étape 3.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{15}{16} & - \frac{25}{2} \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ - \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} (- \frac{5}{4}) & - \frac{4}{5} (- \frac{15}{16}) & - \frac{4}{5} (- \frac{25}{2}) \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & 10 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & 10 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 10 - \frac{3}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{16} \cdot 0 & - \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \cdot 0 & \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1 & \frac{3}{2} - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \cdot 10 \\ 0 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$a = 4$

$b = 10$

$c = 0$

Étape 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(4, 10, 0)$