Ensembles finis Exemples

$x + y - z = 1$ , $x + 3 z = - 5$ , $3 y - z = 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x - z = 1 - y$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

Étape 1.2

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 - y + z$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

$x = 1 - y + z$

$x + 3 z = - 5$

$3 y - z = 5$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $1 - y + z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x + 3 z = - 5$ par $1 - y + z$ .

$(1 - y + z) + 3 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Additionnez $z$ et $3 z$ .

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$1 - y + 4 z = - 5$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $1 - y + 4 z = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y + 4 z = - 5 - 1$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.1.2

Soustrayez $4 z$ des deux côtés de l’équation.

$- y = - 5 - 1 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.1.3

Soustrayez $1$ de $- 5$ .

$- y = - 6 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$- y = - 6 - 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- y = - 6 - 4 z$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - 6 - 4 z$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = \frac{- 6}{- 1} + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$y = 6 + \frac{- 4 z}{- 1}$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 4 z}{- 1}$ .

$y = 6 - 1 \cdot (- 4 z)$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (- 4 z)$ comme $- (- 4 z)$ .

$y = 6 - (- 4 z)$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

$y = 6 + 4 z$

$x = 1 - y + z$

$3 y - z = 5$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $6 + 4 z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 1 - y + z$ par $6 + 4 z$ .

$x = 1 - (6 + 4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $1 - (6 + 4 z) + z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 1 - 1 \cdot 6 - (4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = 1 - 6 - (4 z) + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = 1 - 6 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = 1 - 6 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$x = - 5 - 4 z + z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- 4 z$ et $z$ .

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$3 y - z = 5$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $3 y - z = 5$ par $6 + 4 z$ .

$3 (6 + 4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez $3 (6 + 4 z) - z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 6 + 3 (4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 + 3 (4 z) - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 4.4.1.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$18 + 12 z - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 12 z - z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 4.4.1.2

Soustrayez $z$ de $12 z$ .

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$18 + 11 z = 5$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5

Résolvez $z$ dans $18 + 11 z = 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$11 z = 5 - 18$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5.1.2

Soustrayez $18$ de $5$ .

$11 z = - 13$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$11 z = - 13$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $11 z = - 13$ par $11$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $11 z = - 13$ par $11$ .

$\frac{11 z}{11} = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 z}{11} = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = \frac{- 13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

$z = - \frac{13}{11}$

$x = - 5 - 3 z$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $- \frac{13}{11}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = - 5 - 3 z$ par $- \frac{13}{11}$ .

$x = - 5 - 3 (- \frac{13}{11})$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $- 5 - 3 (- \frac{13}{11})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 3 (- \frac{13}{11})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x = - 5 + 3 (\frac{13}{11})$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{13}{11}$ .

$x = - 5 + \frac{3 \cdot 13}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $13$ .

$x = - 5 + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - 5 + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{11}{11} + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.3

Associez $- 5$ et $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 11}{11} + \frac{39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \cdot 11 + 39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $- 5$ par $11$ .

$x = \frac{- 55 + 39}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.5.2

Additionnez $- 55$ et $39$ .

$x = \frac{- 16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = \frac{- 16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + 4 z$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = 6 + 4 z$ par $- \frac{13}{11}$ .

$y = 6 + 4 (- \frac{13}{11})$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez $6 + 4 (- \frac{13}{11})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1

Multipliez $4 (- \frac{13}{11})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = 6 - 4 (\frac{13}{11})$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.1.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{13}{11}$ .

$y = 6 + \frac{- 4 \cdot 13}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$y = 6 + \frac{- 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 + \frac{- 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 6 - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = 6 - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$y = 6 \cdot \frac{11}{11} - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.3

Associez $6$ et $\frac{11}{11}$ .

$y = \frac{6 \cdot 11}{11} - \frac{52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 \cdot 11 - 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.5.1

Multipliez $6$ par $11$ .

$y = \frac{66 - 52}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 6.4.1.5.2

Soustrayez $52$ de $66$ .

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

$y = \frac{14}{11}$

$x = - \frac{16}{11}$

$z = - \frac{13}{11}$

Étape 7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \frac{16}{11}, \frac{14}{11}, - \frac{13}{11})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- \frac{16}{11}, \frac{14}{11}, - \frac{13}{11})$

Forme de l’équation :

$x = - \frac{16}{11}, y = \frac{14}{11}, z = - \frac{13}{11}$