Ensembles finis Exemples

$p = q^{2} + 8 q + 16$ , $p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Étape 2

Résolvez $q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$ pour $q$ .

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Étape 2.1

Déplacez tous les termes contenant $q$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Ajoutez $3 q^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} = 6 q + 436$

Étape 2.1.2

Soustrayez $6 q$ des deux côtés de l’équation.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} - 6 q = 436$

Étape 2.1.3

Additionnez $q^{2}$ et $3 q^{2}$ .

$4 q^{2} + 8 q + 16 - 6 q = 436$

Étape 2.1.4

Soustrayez $6 q$ de $8 q$ .

$4 q^{2} + 2 q + 16 = 436$

Étape 2.2

Soustrayez $436$ des deux côtés de l’équation.

$4 q^{2} + 2 q + 16 - 436 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $436$ de $16$ .

$4 q^{2} + 2 q - 420 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 q^{2} + 2 q - 420$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 q^{2}$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q - 420 = 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 q$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 (q) - 420 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 420$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q + 2 \cdot - 210 = 0$

Étape 2.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 q^{2}) + 2 q$ .

$2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210 = 0$

Étape 2.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210$ .

$2 (2 q^{2} + q - 210) = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 210 = - 420$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 (2 q^{2} + 1 q - 210) = 0$

Étape 2.4.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 20$ plus $21$

$2 (2 q^{2} + (- 20 + 21) q - 210) = 0$

Étape 2.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 q^{2} - 20 q + 21 q - 210) = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((2 q^{2} - 20 q) + 21 q - 210) = 0$

Étape 2.4.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (2 q (q - 10) + 21 (q - 10)) = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $q - 10$ .

$2 ((q - 10) (2 q + 21)) = 0$

Étape 2.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$q - 10 = 0$

$2 q + 21 = 0 + p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Étape 2.6

Définissez $q - 10$ égal à $0$ et résolvez $q$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $q - 10$ égal à $0$ .

$q - 10 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$q = 10$

Étape 2.7

Définissez $2 q + 21$ égal à $0$ et résolvez $q$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $2 q + 21$ égal à $0$ .

$2 q + 21 = 0$

Étape 2.7.2

Résolvez $2 q + 21 = 0$ pour $q$ .

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Étape 2.7.2.1

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$2 q = - 21$

Étape 2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 q = - 21$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 q = - 21$ par $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Étape 2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Étape 2.7.2.2.2.1.2

Divisez $q$ par $1$ .

$q = \frac{- 21}{2}$

Étape 2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$q = - \frac{21}{2}$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$ vraie.

$q = 10, - \frac{21}{2}$

Étape 3

Évaluez $p$ quand $q = 10$ .

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Étape 3.1

Remplacez $q$ par $10$ .

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$

Étape 3.2

Remplacez $q$ par $10$ dans $p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$ et résolvez $p$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$

Étape 3.2.2

Simplifiez $- 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$ .

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Étape 3.2.2.1

Élevez $10$ à la puissance $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10^{1} + 436$

Étape 3.2.2.2

Move the decimal point in $6$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2} + 436$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $10^{2}$ à partir de $- 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 3 + 0.6) \cdot 10^{2} + 436$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $- 3$ et $0.6$ .

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 436$

Étape 3.2.2.5

Convert $436$ to scientific notation.

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$

Étape 3.2.2.6

Factorisez $10^{2}$ à partir de $- 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 2.4 + 4.36) \cdot 10^{2}$

Étape 3.2.2.7

Additionnez $- 2.4$ et $4.36$ .

$p = 1.96 \cdot 10^{2}$

Étape 4

Évaluez $p$ quand $q = - \frac{21}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $q$ par $- \frac{21}{2}$ .

$p = - 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2

Simplifiez $- 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$p = - 3 (1 \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$p = - 3 \frac{21^{2}}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.4

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$p = - 3 \frac{441}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$p = - 3 (\frac{441}{4}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $- 3 (\frac{441}{4})$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Associez $- 3$ et $\frac{441}{4}$ .

$p = \frac{- 3 \cdot 441}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.6.2

Multipliez $- 3$ par $441$ .

$p = \frac{- 1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21}{2}$ dans le numérateur.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (\frac{- 21}{2}) + 436$

Étape 4.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$p = - \frac{1323}{4} + 2 (3) \frac{- 21}{2} + 436$

Étape 4.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$p = - \frac{1323}{4} + 2 \cdot 3 \frac{- 21}{2} + 436$

Étape 4.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$p = - \frac{1323}{4} + 3 \cdot - 21 + 436$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $3$ par $- 21$ .

$p = - \frac{1323}{4} - 63 + 436$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Écrivez $- 63$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} + 436$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{- 63}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} \cdot \frac{4}{4} + 436$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $\frac{- 63}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + 436$

Étape 4.2.2.4

Écrivez $436$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{436}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $\frac{436}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p = \frac{- 1323 - 63 \cdot 4 + 436 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 63$ par $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 436 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $436$ par $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 1744}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $252$ de $- 1323$ .

$p = \frac{- 1575 + 1744}{4}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 1575$ et $1744$ .

$p = \frac{169}{4}$

Étape 5

La solution du système d’équations est l’ensemble des valeurs qui rendent le système vrai.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10 p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10$

$p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$