Ensembles finis Exemples

$3 y - 2 y + 4 z = 11$ , $2 x - 4 y + 5 z = 4$ , $x + 2 y - z = 10$

Étape 1

Soustrayez $4 z$ des deux côtés de l’équation.

$y = 11 - 4 z$

$2 x - 4 y + 5 z = 4$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $11 - 4 z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $2 x - 4 y + 5 z = 4$ par $11 - 4 z$ .

$2 x - 4 (11 - 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $2 x - 4 (11 - 4 z) + 5 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 4 \cdot 11 - 4 (- 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$2 x - 44 - 4 (- 4 z) + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$2 x - 44 + 16 z + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 16 z + 5 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $16 z$ et $5 z$ .

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 2 y - z = 10$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x + 2 y - z = 10$ par $11 - 4 z$ .

$x + 2 (11 - 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez $x + 2 (11 - 4 z) - z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 \cdot 11 + 2 (- 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 2.4.1.1.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$x + 22 + 2 (- 4 z) - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 2.4.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x + 22 - 8 z - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 8 z - z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 2.4.1.2

Soustrayez $z$ de $- 8 z$ .

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x + 22 - 9 z = 10$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $22$ des deux côtés de l’équation.

$x - 9 z = 10 - 22$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 3.2

Ajoutez $9 z$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10 - 22 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 3.3

Soustrayez $22$ de $10$ .

$x = - 12 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

$x = - 12 + 9 z$

$2 x - 44 + 21 z = 4$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 12 + 9 z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x - 44 + 21 z = 4$ par $- 12 + 9 z$ .

$2 (- 12 + 9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $2 (- 12 + 9 z) - 44 + 21 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot - 12 + 2 (9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$- 24 + 2 (9 z) - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$- 24 + 18 z - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$- 24 + 18 z - 44 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Soustrayez $44$ de $- 24$ .

$18 z - 68 + 21 z = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $18 z$ et $21 z$ .

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z - 68 = 4$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5

Résolvez $z$ dans $39 z - 68 = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Ajoutez $68$ aux deux côtés de l’équation.

$39 z = 4 + 68$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.1.2

Additionnez $4$ et $68$ .

$39 z = 72$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$39 z = 72$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $39 z = 72$ par $39$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $39 z = 72$ par $39$ .

$\frac{39 z}{39} = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{39 z}{39} = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{72}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $72$ et $39$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$z = \frac{3 (24)}{39}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $39$ .

$z = \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

$z = \frac{24}{13}$

$x = - 12 + 9 z$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $\frac{24}{13}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = - 12 + 9 z$ par $\frac{24}{13}$ .

$x = - 12 + 9 (\frac{24}{13})$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $- 12 + 9 (\frac{24}{13})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $9 (\frac{24}{13})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Associez $9$ et $\frac{24}{13}$ .

$x = - 12 + \frac{9 \cdot 24}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $9$ par $24$ .

$x = - 12 + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = - 12 + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.2

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$x = - 12 \cdot \frac{13}{13} + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.3

Associez $- 12$ et $\frac{13}{13}$ .

$x = \frac{- 12 \cdot 13}{13} + \frac{216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 12 \cdot 13 + 216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $- 12$ par $13$ .

$x = \frac{- 156 + 216}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.2.1.5.2

Additionnez $- 156$ et $216$ .

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - 4 z$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = 11 - 4 z$ par $\frac{24}{13}$ .

$y = 11 - 4 (\frac{24}{13})$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez $11 - 4 (\frac{24}{13})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1

Multipliez $- 4 (\frac{24}{13})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{24}{13}$ .

$y = 11 + \frac{- 4 \cdot 24}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $24$ .

$y = 11 + \frac{- 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 + \frac{- 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 11 - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = 11 - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.2

Pour écrire $11$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$y = 11 \cdot \frac{13}{13} - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.3

Associez $11$ et $\frac{13}{13}$ .

$y = \frac{11 \cdot 13}{13} - \frac{96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{11 \cdot 13 - 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.5.1

Multipliez $11$ par $13$ .

$y = \frac{143 - 96}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 6.4.1.5.2

Soustrayez $96$ de $143$ .

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

$y = \frac{47}{13}$

$x = \frac{60}{13}$

$z = \frac{24}{13}$

Étape 7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{60}{13}, \frac{47}{13}, \frac{24}{13})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{60}{13}, \frac{47}{13}, \frac{24}{13})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{60}{13}, y = \frac{47}{13}, z = \frac{24}{13}$