Ensembles finis Exemples

$3 x + y = - 2$ , $2 x^{2} - y = 0$

Étape 1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2 - 3 x$

$2 x^{2} - y = 0$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 2 - 3 x$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $2 x^{2} - y = 0$ par $- 2 - 3 x$ .

$2 x^{2} - (- 2 - 3 x) = 0$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 - (- 3 x) = 0$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 x^{2} + 2 - (- 3 x) = 0$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$2 x^{2} + 2 + 3 x = 0$

$y = - 2 - 3 x$

$2 x^{2} + 2 + 3 x = 0$

$y = - 2 - 3 x$

$2 x^{2} + 2 + 3 x = 0$

$y = - 2 - 3 x$

$2 x^{2} + 2 + 3 x = 0$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $2 x^{2} + 2 + 3 x = 0$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 3$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{7})}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{7})}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $16$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{7})}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{7})}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 - 3 x$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - 2 - 3 x$ par $- \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$y = - 2 - 3 (- \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 2 - 3 (- \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 3 (- \frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - 2 + 3 (\frac{3 - i \sqrt{7}}{4})$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4.2.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$y = - 2 + \frac{3 (3 - i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 + \frac{3 (3 - i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 (3 - i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{3 (3 - i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - 2 - 3 x$ par $- \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$y = - 2 - 3 (- \frac{3 + i \sqrt{7}}{4})$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- 2 - 3 (- \frac{3 + i \sqrt{7}}{4})$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 3 (- \frac{3 + i \sqrt{7}}{4})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - 2 + 3 (\frac{3 + i \sqrt{7}}{4})$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$y = - 2 + \frac{3 (3 + i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = - 2 + \frac{3 (3 + i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 (3 + i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{3 (3 + i \sqrt{7})}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}, x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{4}$

$y = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}, x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{4}$

Étape 7