Ensembles finis Exemples

$x - 5 y + z = 3$ , $x + 2 y - 2 z = - 12$ , $2 x + 2 z = 18$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $5 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x + z = 3 + 5 y$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

Étape 1.2

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$x = 3 + 5 y - z$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

$x = 3 + 5 y - z$

$x + 2 y - 2 z = - 12$

$2 x + 2 z = 18$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $3 + 5 y - z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x + 2 y - 2 z = - 12$ par $3 + 5 y - z$ .

$(3 + 5 y - z) + 2 y - 2 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $(3 + 5 y - z) + 2 y - 2 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Additionnez $5 y$ et $2 y$ .

$3 + 7 y - z - 2 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $2 z$ de $- z$ .

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$2 x + 2 z = 18$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x + 2 z = 18$ par $3 + 5 y - z$ .

$2 (3 + 5 y - z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez $2 (3 + 5 y - z) + 2 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 3 + 2 (5 y) + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 + 2 (5 y) + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4.1.1.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$6 + 10 y + 2 (- z) + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y - 2 z + 2 z = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4.1.2

Associez les termes opposés dans $6 + 10 y - 2 z + 2 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Additionnez $- 2 z$ et $2 z$ .

$6 + 10 y + 0 = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 2.4.1.2.2

Additionnez $6 + 10 y$ et $0$ .

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$6 + 10 y = 18$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $6 + 10 y = 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$10 y = 18 - 6$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$10 y = 12$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$10 y = 12$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $10 y = 12$ par $10$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $10 y = 12$ par $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y}{10} = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{12}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y = \frac{2 (6)}{10}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

$y = \frac{6}{5}$

$3 + 7 y - 3 z = - 12$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{6}{5}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $3 + 7 y - 3 z = - 12$ par $\frac{6}{5}$ .

$3 + 7 (\frac{6}{5}) - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $3 + 7 (\frac{6}{5}) - 3 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $7 (\frac{6}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Associez $7$ et $\frac{6}{5}$ .

$3 + \frac{7 \cdot 6}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $7$ par $6$ .

$3 + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$3 + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 5 + 42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 + 42}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.2.1.5.2

Additionnez $15$ et $42$ .

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 5 y - z$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 3 + 5 y - z$ par $\frac{6}{5}$ .

$x = 3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez $3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = 3 + 5 (\frac{6}{5}) - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 4.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 + 6 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 3 + 6 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

$x = 9 - z$

$\frac{57}{5} - 3 z = - 12$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5

Résolvez $z$ dans $\frac{57}{5} - 3 z = - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $\frac{57}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 z = - 12 - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 3 z = - 12 \cdot \frac{5}{5} - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.3

Associez $- 12$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 3 z = \frac{- 12 \cdot 5}{5} - \frac{57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 z = \frac{- 12 \cdot 5 - 57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$- 3 z = \frac{- 60 - 57}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.5.2

Soustrayez $57$ de $- 60$ .

$- 3 z = \frac{- 117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$- 3 z = \frac{- 117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 z = - \frac{117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$- 3 z = - \frac{117}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 3 z = - \frac{117}{5}$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 z = - \frac{117}{5}$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- \frac{117}{5}}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$z = - \frac{117}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{117}{5}$ dans le numérateur.

$z = \frac{- 117}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 117$ .

$z = \frac{3 (- 39)}{5} \cdot \frac{1}{- 3}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$z = \frac{3 \cdot - 39}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{3 \cdot - 39}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{- 39}{5} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{- 39}{5} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $\frac{- 39}{5}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$z = \frac{- 39}{5 \cdot - 1}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 39}{- 5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 5.2.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$x = 9 - z$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $\frac{39}{5}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = 9 - z$ par $\frac{39}{5}$ .

$x = 9 - (\frac{39}{5})$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $9 - (\frac{39}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x = 9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.1.2

Associez $9$ et $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{9 \cdot 5 - 39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $9$ par $5$ .

$x = \frac{45 - 39}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 6.2.1.4.2

Soustrayez $39$ de $45$ .

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

$x = \frac{6}{5}$

$z = \frac{39}{5}$

$y = \frac{6}{5}$

Étape 7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}, \frac{39}{5})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}, \frac{39}{5})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{6}{5}, y = \frac{6}{5}, z = \frac{39}{5}$