Ensembles finis Exemples

$x + x y = 7$ , $x - 2 y = - 5$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 5 + 2 y$

$x + x y = 7$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 5 + 2 y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x + x y = 7$ par $- 5 + 2 y$ .

$(- 5 + 2 y) + (- 5 + 2 y) \cdot y = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $(- 5 + 2 y) + (- 5 + 2 y) \cdot y$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y \cdot y = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 (y \cdot y) = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $5 y$ de $2 y$ .

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} - 7 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.1.2

Soustrayez $7$ de $- 5$ .

$- 3 y + 2 y^{2} - 12 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 3 y + 2 y^{2} - 12 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 12)}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $9$ et $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $9$ et $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $9$ et $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{3 + \sqrt{105}}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 5 + 2 y$ par $\frac{3 + \sqrt{105}}{4}$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{4})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{4})$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{2 (2)})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{2 \cdot 2})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = - 5 + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$x = \frac{- 10 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.4.2

Additionnez $- 10$ et $3$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1.5.1

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{105}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{105})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 4.2.1.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{3 - \sqrt{105}}{4}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 5 + 2 y$ par $\frac{3 - \sqrt{105}}{4}$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{4})$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{2 (2)})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{2 \cdot 2})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = - 5 + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1.3.1

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$x = \frac{- 10 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.4.2

Additionnez $- 10$ et $3$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.1.5.1

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{105}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{105})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 5.2.1.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, \frac{3 + \sqrt{105}}{4})$

$(- \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, \frac{3 + \sqrt{105}}{4}), (- \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

Forme de l’équation :

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Étape 8