Ensembles finis Exemples

$x + 4 y - 3 z = - 8$ , $3 x - y + 3 z = 12$ , $x + y + 6 z = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 z = - 8 - 4 y$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 1.2

Ajoutez $3 z$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$3 x - y + 3 z = 12$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 8 - 4 y + 3 z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $3 x - y + 3 z = 12$ par $- 8 - 4 y + 3 z$ .

$3 (- 8 - 4 y + 3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez $3 (- 8 - 4 y + 3 z) - y + 3 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot - 8 + 3 (- 4 y) + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 24 + 3 (- 4 y) + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$- 24 - 12 y + 3 (3 z) - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 12 y + 9 z - y + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Soustrayez $y$ de $- 12 y$ .

$- 24 - 13 y + 9 z + 3 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $9 z$ et $3 z$ .

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$x + y + 6 z = 1$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x + y + 6 z = 1$ par $- 8 - 4 y + 3 z$ .

$(- 8 - 4 y + 3 z) + y + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez $(- 8 - 4 y + 3 z) + y + 6 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Additionnez $- 4 y$ et $y$ .

$- 8 - 3 y + 3 z + 6 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $3 z$ et $6 z$ .

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 8 - 3 y + 9 z = 1$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $- 8 - 3 y + 9 z = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 y + 9 z = 1 + 8$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.1.2

Soustrayez $9 z$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y = 1 + 8 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.1.3

Additionnez $1$ et $8$ .

$- 3 y = 9 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 3 y = 9 - 9 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 9 - 9 z$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y = 9 - 9 z$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = \frac{9}{- 3} + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Divisez $9$ par $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- 9 z}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 9 z$ .

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3 \cdot 1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - 3 + \frac{- 3 (3 z)}{- 3 \cdot 1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 3 + \frac{3 z}{1}$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 3.2.3.1.2.2.4

Divisez $3 z$ par $1$ .

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 24 - 13 y + 12 z = 12$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 3 + 3 z$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $- 24 - 13 y + 12 z = 12$ par $- 3 + 3 z$ .

$- 24 - 13 (- 3 + 3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $- 24 - 13 (- 3 + 3 z) + 12 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 24 - 13 \cdot - 3 - 13 (3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $- 13$ par $- 3$ .

$- 24 + 39 - 13 (3 z) + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $- 13$ .

$- 24 + 39 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$- 24 + 39 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $- 24$ et $39$ .

$15 - 39 z + 12 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- 39 z$ et $12 z$ .

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 - 4 y + 3 z$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 8 - 4 y + 3 z$ par $- 3 + 3 z$ .

$x = - 8 - 4 (- 3 + 3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez $- 8 - 4 (- 3 + 3 z) + 3 z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 8 - 4 \cdot - 3 - 4 (3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = - 8 + 12 - 4 (3 z) + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 4.4.1.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$x = - 8 + 12 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = - 8 + 12 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 4.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.1

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$x = 4 - 12 z + 3 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 4.4.1.2.2

Additionnez $- 12 z$ et $3 z$ .

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 9 z$

$15 - 27 z = 12$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5

Résolvez $z$ dans $15 - 27 z = 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$- 27 z = 12 - 15$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.1.2

Soustrayez $15$ de $12$ .

$- 27 z = - 3$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$- 27 z = - 3$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- 27 z = - 3$ par $- 27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 27 z = - 3$ par $- 27$ .

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 27 z}{- 27} = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{- 3}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $- 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 27}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 27$ .

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

$z = \frac{1}{9}$

$x = 4 - 9 z$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $\frac{1}{9}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = 4 - 9 z$ par $\frac{1}{9}$ .

$x = 4 - 9 (\frac{1}{9})$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez $4 - 9 (\frac{1}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$x = 4 + 9 (- 1) (\frac{1}{9})$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 4 + 9 \cdot (- 1 (\frac{1}{9}))$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 4 - 1$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 4 - 1$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + 3 z$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = - 3 + 3 z$ par $\frac{1}{9}$ .

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{9})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez $- 3 + 3 (\frac{1}{9})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{3 (3)})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = - 3 + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3})$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 3 + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - 3 + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 \cdot 3 + 1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.5.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$y = \frac{- 9 + 1}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.5.2

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = \frac{- 8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 6.4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

$y = - \frac{8}{3}$

$x = 3$

$z = \frac{1}{9}$

Étape 7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(3, - \frac{8}{3}, \frac{1}{9})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(3, - \frac{8}{3}, \frac{1}{9})$

Forme de l’équation :

$x = 3, y = - \frac{8}{3}, z = \frac{1}{9}$