Ensembles finis Exemples

$x - 8 y = - 21$ , $- 4 x + 2 y = - 18$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 8)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$2 - 1 \cdot 32$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$2 - 32$

Étape 2.3.2

Soustrayez $32$ de $2$ .

$- 30$

$D = - 30$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 21$ par $2$ .

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- (- 18 \cdot - 8)$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $- 18$ par $- 8$ .

$- 42 - 1 \cdot 144$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$- 42 - 144$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $144$ de $- 42$ .

$- 186$

$D_{x} = - 186$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 186$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $- 186$ et $- 30$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 186$ .

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 30$ .

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{31}{5}$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 21)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 21$ .

$- 18 - 1 \cdot 84$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $84$ .

$- 18 - 84$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $84$ de $- 18$ .

$- 102$

$D_{y} = - 102$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- 30$ for $D$ and $- 102$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $- 102$ et $- 30$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 102$ .

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 30$ .

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{17}{5}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{31}{5}$

$y = \frac{17}{5}$