Ensembles finis Exemples

x - 8 y = - 21

$x - 8 y = - 21$ ,

- 4 x + 2 y = - 18

$- 4 x + 2 y = - 18$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix

[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Write

[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)

$1 \cdot 2 - (- 4 \cdot - 8)$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

2 - (- 4 \cdot - 8)

$2 - (- 4 \cdot - 8)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez

- (- 4 \cdot - 8)

$- (- 4 \cdot - 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 8

$- 8$ .

2 - 1 \cdot 32

$2 - 1 \cdot 32$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

32

$32$ .

2 - 32

$2 - 32$

2 - 32

$2 - 32$

2 - 32

$2 - 32$

Étape 2.3.2

Soustrayez

32

$32$ de

2

$2$ .

- 30

$- 30$

- 30

$- 30$

D = - 30

$D = - 30$

Étape 3

Since the determinant is not

0

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of

x

$x$ by Cramer's Rule, which states that

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column

1

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

x

$x$ -coefficients of the system with

[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 21 & - 8 \\ - 18 & 2 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)

$- 21 \cdot 2 - (- 18 \cdot - 8)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez

- 21

$- 21$ par

2

$2$ .

- 42 - (- 18 \cdot - 8)

$- 42 - (- 18 \cdot - 8)$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez

- (- 18 \cdot - 8)

$- (- 18 \cdot - 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez

- 18

$- 18$ par

- 8

$- 8$ .

- 42 - 1 \cdot 144

$- 42 - 1 \cdot 144$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

144

$144$ .

- 42 - 144

$- 42 - 144$

- 42 - 144

$- 42 - 144$

- 42 - 144

$- 42 - 144$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez

144

$144$ de

- 42

$- 42$ .

- 186

$- 186$

- 186

$- 186$

D_{x} = - 186

$D_{x} = - 186$

Étape 4.3

Use the formula to solve for

x

$x$ .

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute

- 30

$- 30$ for

D

$D$ and

- 186

$- 186$ for

D_{x}

$D_{x}$ in the formula.

x = \frac{- 186}{- 30}

$x = \frac{- 186}{- 30}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à

- 186

$- 186$ et

- 30

$- 30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 186

$- 186$ .

x = \frac{- 6 (31)}{- 30}

$x = \frac{- 6 (31)}{- 30}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 30

$- 30$ .

x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}

$x = \frac{- 6 \cdot 31}{- 6 \cdot 5}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

x = \frac{31}{5}

$x = \frac{31}{5}$

x = \frac{31}{5}

$x = \frac{31}{5}$

x = \frac{31}{5}

$x = \frac{31}{5}$

x = \frac{31}{5}

$x = \frac{31}{5}$

Étape 5

Find the value of

y

$y$ by Cramer's Rule, which states that

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Replace column

2

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

y

$y$ -coefficients of the system with

[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 21 \\ - 18 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 21 \\ - 4 & - 18 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)

$1 \cdot - 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Multipliez

- 18

$- 18$ par

1

$1$ .

- 18 - (- 4 \cdot - 21)

$- 18 - (- 4 \cdot - 21)$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez

- (- 4 \cdot - 21)

$- (- 4 \cdot - 21)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 21

$- 21$ .

- 18 - 1 \cdot 84

$- 18 - 1 \cdot 84$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

84

$84$ .

- 18 - 84

$- 18 - 84$

- 18 - 84

$- 18 - 84$

- 18 - 84

$- 18 - 84$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez

84

$84$ de

- 18

$- 18$ .

- 102

$- 102$

- 102

$- 102$

D_{y} = - 102

$D_{y} = - 102$

Étape 5.3

Use the formula to solve for

y

$y$ .

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute

- 30

$- 30$ for

D

$D$ and

- 102

$- 102$ for

D_{y}

$D_{y}$ in the formula.

y = \frac{- 102}{- 30}

$y = \frac{- 102}{- 30}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à

- 102

$- 102$ et

- 30

$- 30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 102

$- 102$ .

y = \frac{- 6 (17)}{- 30}

$y = \frac{- 6 (17)}{- 30}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Factorisez

- 6

$- 6$ à partir de

- 30

$- 30$ .

y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}

$y = \frac{- 6 \cdot 17}{- 6 \cdot 5}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

y = \frac{17}{5}

$y = \frac{17}{5}$

y = \frac{17}{5}

$y = \frac{17}{5}$

y = \frac{17}{5}

$y = \frac{17}{5}$

y = \frac{17}{5}

$y = \frac{17}{5}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

x = \frac{31}{5}

$x = \frac{31}{5}$

y = \frac{17}{5}

$y = \frac{17}{5}$