Ensembles finis Exemples

$x - 2 y = 0$ , $x + y + z = 320$ , $25000 x + 80000 y + 70000 z = 16000000$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 25000 & 80000 & 70000 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 320 \\ 16000000 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 25000 & 80000 & 70000 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 25000 & 80000 & 70000 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 25000 & 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 2.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 70000 - 80000 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $70000$ par $1$ .

$1 (70000 - 80000 \cdot 1) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 80000$ par $1$ .

$1 (70000 - 80000) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $80000$ de $70000$ .

$1 \cdot - 10000 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 10000 + 2 (1 \cdot 70000 - 25000 \cdot 1) + 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $70000$ par $1$ .

$1 \cdot - 10000 + 2 (70000 - 25000 \cdot 1) + 0$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 25000$ par $1$ .

$1 \cdot - 10000 + 2 (70000 - 25000) + 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $25000$ de $70000$ .

$1 \cdot - 10000 + 2 \cdot 45000 + 0$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $- 10000$ par $1$ .

$- 10000 + 2 \cdot 45000 + 0$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $2$ par $45000$ .

$- 10000 + 90000 + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 10000$ et $90000$ .

$80000 + 0$

Étape 2.6.3

Additionnez $80000$ et $0$ .

$80000$

$D = 80000$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 320 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 0 \\ 320 & 1 & 1 \\ 16000000 & 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 80000 & 70000 \end{array} |$ .

$0 + 2 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 80000 \end{array} |$ .

$0 + 2 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0$

Étape 4.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 2 (320 \cdot 70000 - 16000000 \cdot 1) + 0$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez $320$ par $70000$ .

$0 + 2 (22400000 - 16000000 \cdot 1) + 0$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez $- 16000000$ par $1$ .

$0 + 2 (22400000 - 16000000) + 0$

Étape 4.2.4.2.2

Soustrayez $16000000$ de $22400000$ .

$0 + 2 \cdot 6400000 + 0$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $6400000$ .

$0 + 12800000 + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $0$ et $12800000$ .

$12800000 + 0$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $12800000$ et $0$ .

$12800000$

$D_{x} = 12800000$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $80000$ for $D$ and $12800000$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{12800000}{80000}$

Étape 4.5

Divisez $12800000$ par $80000$ .

$x = 160$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 320 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 320 & 1 \\ 25000 & 16000000 & 70000 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 70000 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 320 & 1 \\ 16000000 & 70000 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (320 \cdot 70000 - 16000000 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $320$ par $70000$ .

$1 (22400000 - 16000000 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- 16000000$ par $1$ .

$1 (22400000 - 16000000) + 0 + 0$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $16000000$ de $22400000$ .

$1 \cdot 6400000 + 0 + 0$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $6400000$ par $1$ .

$6400000 + 0 + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $6400000$ et $0$ .

$6400000 + 0$

Étape 5.2.5.3

Additionnez $6400000$ et $0$ .

$6400000$

$D_{y} = 6400000$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $80000$ for $D$ and $6400000$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{6400000}{80000}$

Étape 5.5

Divisez $6400000$ par $80000$ .

$y = 80$

Étape 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 0 \\ 320 \\ 16000000 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 320 \\ 25000 & 80000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

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Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 80000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 80000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 80000 & 16000000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 25000 & 80000 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 80000 & 16000000 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 80000 & 16000000 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 16000000 - 80000 \cdot 320) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $16000000$ par $1$ .

$1 (16000000 - 80000 \cdot 320) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- 80000$ par $320$ .

$1 (16000000 - 25600000) + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $25600000$ de $16000000$ .

$1 \cdot - 9600000 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} | + 0$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 320 \\ 25000 & 16000000 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 9600000 + 2 (1 \cdot 16000000 - 25000 \cdot 320) + 0$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $16000000$ par $1$ .

$1 \cdot - 9600000 + 2 (16000000 - 25000 \cdot 320) + 0$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- 25000$ par $320$ .

$1 \cdot - 9600000 + 2 (16000000 - 8000000) + 0$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez $8000000$ de $16000000$ .

$1 \cdot - 9600000 + 2 \cdot 8000000 + 0$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $- 9600000$ par $1$ .

$- 9600000 + 2 \cdot 8000000 + 0$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $8000000$ .

$- 9600000 + 16000000 + 0$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 9600000$ et $16000000$ .

$6400000 + 0$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $6400000$ et $0$ .

$6400000$

$D_{z} = 6400000$

Étape 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Substitute $80000$ for $D$ and $6400000$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{6400000}{80000}$

Étape 6.5

Divisez $6400000$ par $80000$ .

$z = 80$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = 160$

$y = 80$

$z = 80$