Ensembles finis Exemples

$x - 2 y + z = - 2$ , $- 2 x + 4 y + 6 z = - 5$ , $- 5 x - 3 y + z = - 4$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 4 & 6 \\ - 5 & - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 4 & 6 \\ - 5 & - 3 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 4 & 6 \\ - 5 & - 3 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & 4 & 6 \\ - 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (4 \cdot 1 - (- 3 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 (4 - (- 3 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 6)$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$1 (4 - - 18) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$1 (4 + 18) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $4$ et $18$ .

$1 \cdot 22 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 22 + 2 (- 2 \cdot 1 - (- 5 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 \cdot 22 + 2 (- 2 - (- 5 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 6)$ .

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Étape 2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$1 \cdot 22 + 2 (- 2 - - 30) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 30$ .

$1 \cdot 22 + 2 (- 2 + 30) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 2$ et $30$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 (- 2 \cdot - 3 - (- 5 \cdot 4))$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 (6 - (- 5 \cdot 4))$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 (6 - - 20)$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 (6 + 20)$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $6$ et $20$ .

$1 \cdot 22 + 2 \cdot 28 + 1 \cdot 26$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $22$ par $1$ .

$22 + 2 \cdot 28 + 1 \cdot 26$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $2$ par $28$ .

$22 + 56 + 1 \cdot 26$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $26$ par $1$ .

$22 + 56 + 26$

Étape 2.6.2

Additionnez $22$ et $56$ .

$78 + 26$

Étape 2.6.3

Additionnez $78$ et $26$ .

$104$

$D = 104$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 2 & 1 \\ - 5 & 4 & 6 \\ - 4 & - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (4 \cdot 1 - (- 3 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 2 (4 - (- 3 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 6)$ .

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Étape 4.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- 2 (4 - - 18) + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$- 2 (4 + 18) + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $4$ et $18$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 (- 5 \cdot 1 - (- 4 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 (- 5 - (- 4 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 6)$ .

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Étape 4.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 (- 5 - - 24) + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 (- 5 + 24) + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $- 5$ et $24$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 5 & 4 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 (- 5 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 4))$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 (15 - (- 4 \cdot 4))$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 4)$ .

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Étape 4.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 (15 - - 16)$

Étape 4.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 (15 + 16)$

Étape 4.2.4.2.2

Additionnez $15$ et $16$ .

$- 2 \cdot 22 + 2 \cdot 19 + 1 \cdot 31$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.1.1

Multipliez $- 2$ par $22$ .

$- 44 + 2 \cdot 19 + 1 \cdot 31$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $19$ .

$- 44 + 38 + 1 \cdot 31$

Étape 4.2.5.1.3

Multipliez $31$ par $1$ .

$- 44 + 38 + 31$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 44$ et $38$ .

$- 6 + 31$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $- 6$ et $31$ .

$25$

$D_{x} = 25$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $104$ for $D$ and $25$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{25}{104}$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 \\ - 2 & - 5 & 6 \\ - 5 & - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 5 \cdot 1 - (- 4 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 (- 5 - (- 4 \cdot 6)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 6)$ .

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$1 (- 5 - - 24) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$1 (- 5 + 24) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $24$ .

$1 \cdot 19 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 6 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 19 + 2 (- 2 \cdot 1 - (- 5 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 \cdot 19 + 2 (- 2 - (- 5 \cdot 6)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 6)$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$1 \cdot 19 + 2 (- 2 - - 30) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 30$ .

$1 \cdot 19 + 2 (- 2 + 30) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $- 2$ et $30$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 (- 2 \cdot - 4 - (- 5 \cdot - 5))$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 (8 - (- 5 \cdot - 5))$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 (8 - 1 \cdot 25)$

Étape 5.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 (8 - 25)$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $25$ de $8$ .

$1 \cdot 19 + 2 \cdot 28 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $19$ par $1$ .

$19 + 2 \cdot 28 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $28$ .

$19 + 56 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$19 + 56 - 17$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $19$ et $56$ .

$75 - 17$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $17$ de $75$ .

$58$

$D_{y} = 58$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $104$ for $D$ and $58$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{58}{104}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $58$ et $104$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$y = \frac{2 (29)}{104}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $104$ .

$y = \frac{2 \cdot 29}{2 \cdot 52}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 29}{2 \cdot 52}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{29}{52}$

Étape 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ - 5 \\ - 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 2 \\ - 2 & 4 & - 5 \\ - 5 & - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

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Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 5 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (4 \cdot - 4 - (- 3 \cdot - 5)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$1 (- 16 - (- 3 \cdot - 5)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 5)$ .

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$1 (- 16 - 1 \cdot 15) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$1 (- 16 - 15) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Soustrayez $15$ de $- 16$ .

$1 \cdot - 31 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 31 + 2 (- 2 \cdot - 4 - (- 5 \cdot - 5)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$1 \cdot - 31 + 2 (8 - (- 5 \cdot - 5)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot - 5)$ .

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Étape 6.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$1 \cdot - 31 + 2 (8 - 1 \cdot 25) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$1 \cdot - 31 + 2 (8 - 25) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $25$ de $8$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 4 \\ - 5 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 (- 2 \cdot - 3 - (- 5 \cdot 4))$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 (6 - (- 5 \cdot 4))$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 5 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 (6 - - 20)$

Étape 6.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 (6 + 20)$

Étape 6.2.4.2.2

Additionnez $6$ et $20$ .

$1 \cdot - 31 + 2 \cdot - 17 - 2 \cdot 26$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $- 31$ par $1$ .

$- 31 + 2 \cdot - 17 - 2 \cdot 26$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 17$ .

$- 31 - 34 - 2 \cdot 26$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $26$ .

$- 31 - 34 - 52$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $34$ de $- 31$ .

$- 65 - 52$

Étape 6.2.5.3

Soustrayez $52$ de $- 65$ .

$- 117$

$D_{z} = - 117$

Étape 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Substitute $104$ for $D$ and $- 117$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 117}{104}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $- 117$ et $104$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Factorisez $13$ à partir de $- 117$ .

$z = \frac{13 (- 9)}{104}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Factorisez $13$ à partir de $104$ .

$z = \frac{13 \cdot - 9}{13 \cdot 8}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{13 \cdot - 9}{13 \cdot 8}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{- 9}{8}$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{9}{8}$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{25}{104}$

$y = \frac{29}{52}$

$z = - \frac{9}{8}$