Ensembles finis Exemples

$x + 2 y - z = - 1$ , $2 x + y - z = 1$ , $x - 3 y - 5 z = 20$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 (- 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$1 (- 5 - 1 \cdot 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 (- 5 - 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (2 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 10 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 10 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (- 6 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (- 6 - 1)$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 \cdot - 7$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 - 2 \cdot - 9 - 1 \cdot - 7$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$- 8 + 18 - 1 \cdot - 7$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- 8 + 18 + 7$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 8$ et $18$ .

$10 + 7$

Étape 2.6.3

Additionnez $10$ et $7$ .

$17$

$D = 17$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 20 & - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (1 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 1 (- 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 (- 5 - 1 \cdot 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 1 (- 5 - 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (1 \cdot - 5 - 20 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (- 5 - 20 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (- 5 + 20) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $- 5$ et $20$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Étape 4.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (1 \cdot - 3 - 20 \cdot 1)$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (- 3 - 20 \cdot 1)$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (- 3 - 20)$

Étape 4.2.4.2.2

Soustrayez $20$ de $- 3$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 \cdot - 23$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 - 2 \cdot 15 - 1 \cdot - 23$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$8 - 30 - 1 \cdot - 23$

Étape 4.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 23$ .

$8 - 30 + 23$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $30$ de $8$ .

$- 22 + 23$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $- 22$ et $23$ .

$1$

$D_{x} = 1$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $17$ for $D$ and $1$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{1}{17}$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 20 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 5 - 20 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 (- 5 - 20 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$1 (- 5 + 20) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $20$ .

$1 \cdot 15 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 15 + 1 (2 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$1 \cdot 15 + 1 (- 10 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \cdot 15 + 1 (- 10 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (2 \cdot 20 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (40 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (40 - 1)$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $40$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 39$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $15$ par $1$ .

$15 + 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 39$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$15 - 9 - 1 \cdot 39$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $39$ .

$15 - 9 - 39$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $9$ de $15$ .

$6 - 39$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $39$ de $6$ .

$- 33$

$D_{y} = - 33$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $17$ for $D$ and $- 33$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 33}{17}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{33}{17}$

Étape 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 20 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

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Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 20 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez $20$ par $1$ .

$1 (20 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 (20 - - 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$1 (20 + 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $20$ et $3$ .

$1 \cdot 23 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 23 - 2 (2 \cdot 20 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$1 \cdot 23 - 2 (40 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 23 - 2 (40 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $1$ de $40$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (- 6 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (- 6 - 1)$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 \cdot - 7$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $23$ par $1$ .

$23 - 2 \cdot 39 - 1 \cdot - 7$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $39$ .

$23 - 78 - 1 \cdot - 7$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$23 - 78 + 7$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $78$ de $23$ .

$- 55 + 7$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $- 55$ et $7$ .

$- 48$

$D_{z} = - 48$

Étape 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Substitute $17$ for $D$ and $- 48$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 48}{17}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{48}{17}$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{1}{17}$

$y = - \frac{33}{17}$

$z = - \frac{48}{17}$