Ensembles finis Exemples

$x + 2 y = 7$ , $2 x - y = 4$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - 2 \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 1 - 4$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 5$

$D = - 5$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot - 1 - 4 \cdot 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- 7 - 4 \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- 7 - 8$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 7$ .

$- 15$

$D_{x} = - 15$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 15$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 15}{- 5}$

Étape 4.5

Divisez $- 15$ par $- 5$ .

$x = 3$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - 2 \cdot 7$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 2 \cdot 7$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$4 - 14$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $14$ de $4$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 10$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{- 5}$

Étape 5.5

Divisez $- 10$ par $- 5$ .

$y = 2$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = 3$

$y = 2$