Ensembles finis Exemples

$8 x \cdot 1 + 9 x \cdot 2 = 117$ , $4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 1

Simplifiez $8 x \cdot 1 + 9 x \cdot 2$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x + 9 x \cdot 2 = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 1.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$8 x + 18 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$8 x + 18 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 1.2

Additionnez $8 x$ et $18 x$ .

$26 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$26 x = 117$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $26 x = 117$ par $26$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $26 x = 117$ par $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{26 x}{26} = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{117}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $117$ et $26$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $13$ à partir de $117$ .

$x = \frac{13 (9)}{26}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $13$ à partir de $26$ .

$x = \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{13 \cdot 9}{13 \cdot 2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2 = 66$

Étape 3

Simplifiez $4 x \cdot 1 + 6 x \cdot 2$ .

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x + 6 x \cdot 2 = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 x + 12 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$4 x + 12 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 3.2

Additionnez $4 x$ et $12 x$ .

$16 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

$16 x = 66$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $16 x = 66$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $16 x = 66$ par $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x}{16} = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{66}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $66$ et $16$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $66$ .

$x = \frac{2 (33)}{16}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$x = \frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 33}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{33}{8}$

$x = \frac{9}{2}$

Étape 5

Comme les racines d’une équation sont les points où la solution est $0$ , définissez chaque racine comme un facteur de l’équation qui soit égal à $0$ .

$(x - \frac{9}{2}) (x - \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Développez $(x - \frac{9}{2}) (x - \frac{33}{8})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} \cdot (x - \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} \cdot (x - \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{33}{8}) - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{33}{8}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 33}{8} - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2.1.3

Déplacez $33$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{33 \cdot x}{8} - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2.1.4

Associez $x$ et $\frac{9}{2}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2.1.5

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 \cdot x}{2} - \frac{9}{2} \cdot (- \frac{33}{8}) = 0$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- \frac{9}{2} (- \frac{33}{8})$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + 1 (\frac{9}{2}) \cdot \frac{33}{8} = 0$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{33}{8} = 0$

Étape 6.2.1.6.3

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{33}{8}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot 33}{2 \cdot 8} = 0$

Étape 6.2.1.6.4

Multipliez $9$ par $33$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{297}{2 \cdot 8} = 0$

Étape 6.2.1.6.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- \frac{9 x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{9 x}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{2} - \frac{33 x}{8} - \frac{9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.5

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.6

Associez $x^{2}$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8}{8} + \frac{- 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.8

Pour écrire $\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.9.1

Multipliez $\frac{x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.9.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2}{16} + \frac{297}{16} = 0$

Étape 6.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} \cdot 8 - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{(8 \cdot x^{2} - 33 x - 9 x \cdot 4) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$\frac{(8 x^{2} - 33 x - 36 x) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $36 x$ de $- 33 x$ .

$\frac{(8 x^{2} - 69 x) \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} \cdot 2 - 69 x \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 69 x \cdot 2 + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $- 69$ .

$\frac{16 x^{2} - 138 x + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot 297 = 4752$ et dont la somme est $b = - 138$ .

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Étape 6.3.6.1.1

Factorisez $- 138$ à partir de $- 138 x$ .

$\frac{16 x^{2} - 138 x + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.6.1.2

Réécrivez $- 138$ comme $- 66$ plus $- 72$

$\frac{16 x^{2} + (- 66 - 72) x + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{16 x^{2} - 66 x - 72 x + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(16 x^{2} - 66 x) - 72 x + 297}{16} = 0$

Étape 6.3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (8 x - 33) - 9 (8 x - 33)}{16} = 0$

Étape 6.3.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 x - 33$ .

$\frac{(8 x - 33) (2 x - 9)}{16} = 0$