Ensembles finis Exemples

$x - 8 y + z = 1$ , $3 x - y + 2 z = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $8 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x + z = 1 + 8 y$

$3 x - y + 2 z = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 8 y - z$

$3 x - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

$3 x - y + 2 z = 1$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $3 (1 + 8 y - z) - y + 2 z$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (8 y) + 3 (- z) - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (8 y) + 3 (- z) - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.1.1.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$3 + 24 y + 3 (- z) - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 + 24 y - 3 z - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

$3 + 24 y - 3 z - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

$3 + 24 y - 3 z - y + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $y$ de $24 y$ .

$3 + 23 y - 3 z + 2 z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $- 3 z$ et $2 z$ .

$3 + 23 y - z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

$3 + 23 y - z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

$3 + 23 y - z = 1$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$23 y - z = 1 - 3$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.2.2

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$23 y = 1 - 3 + z$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.2.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$23 y = - 2 + z$

$x = 1 + 8 y - z$

$23 y = - 2 + z$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $23 y = - 2 + z$ par $23$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $23 y = - 2 + z$ par $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $23$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

$y = \frac{- 2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

$y = \frac{- 2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + 8 y - z$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $1 + 8 (- \frac{2}{23} + \frac{z}{23}) - z$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 1 + 8 (- \frac{2}{23}) + 8 (\frac{z}{23}) - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $8 (- \frac{2}{23})$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = 1 - 8 (\frac{2}{23}) + 8 (\frac{z}{23}) - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.1.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{23}$ .

$x = 1 + \frac{- 8 \cdot 2}{23} + 8 (\frac{z}{23}) - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$x = 1 + \frac{- 16}{23} + 8 (\frac{z}{23}) - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 + \frac{- 16}{23} + 8 (\frac{z}{23}) - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.1.3

Associez $8$ et $\frac{z}{23}$ .

$x = 1 + \frac{- 16}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 1 - \frac{16}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = 1 - \frac{16}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \frac{23}{23} - \frac{16}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{23 - 16}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.2.3

Soustrayez $16$ de $23$ .

$x = \frac{7}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = \frac{7}{23} + \frac{8 z}{23} - z$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.3

Pour écrire $- z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{23}{23}$ .

$x = \frac{7}{23} + \frac{8 z}{23} - z \cdot \frac{23}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.4

Associez $- z$ et $\frac{23}{23}$ .

$x = \frac{7}{23} + \frac{8 z}{23} + \frac{- z \cdot 23}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7}{23} + \frac{8 z - z \cdot 23}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 + 8 z - z \cdot 23}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.7

Multipliez $23$ par $- 1$ .

$x = \frac{7 + 8 z - 23 z}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 3.1.8

Soustrayez $23 z$ de $8 z$ .

$x = \frac{7 - 15 z}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = \frac{7 - 15 z}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

$x = \frac{7 - 15 z}{23}$

$y = - \frac{2}{23} + \frac{z}{23}$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{2}{23}$ et $\frac{z}{23}$ .

$y = \frac{z}{23} - \frac{2}{23}$

$x = \frac{7 - 15 z}{23}$

$y = \frac{z}{23} - \frac{2}{23}$

$x = \frac{7 - 15 z}{23}$