Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 (1 + 0 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$1 (1 + 0) + 0 + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 \cdot 1 + 0 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 0 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 & 0 - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 & 0 - 1 & - 1 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$