Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 4 \\ 5 & 7 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 7 - 5 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 - 5 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$7 - 20$

Étape 2.2.2

Soustrayez $20$ de $7$ .

$- 13$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 13} [\begin{array}{c} 7 & - 4 \\ - 5 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{13} [\begin{array}{c} 7 & - 4 \\ - 5 & 1 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{13}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{13} \cdot 7 & - \frac{1}{13} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot 7$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 7 (\frac{1}{13}) & - \frac{1}{13} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 7}{13} & - \frac{1}{13} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & - \frac{1}{13} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot - 4$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & 4 (\frac{1}{13}) \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & \frac{4}{13} \\ - \frac{1}{13} \cdot - 5 & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4

Multipliez $- \frac{1}{13} \cdot - 5$ .

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & \frac{4}{13} \\ 5 (\frac{1}{13}) & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{13}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & \frac{4}{13} \\ \frac{5}{13} & - \frac{1}{13} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{13} & \frac{4}{13} \\ \frac{5}{13} & - \frac{1}{13} \end{array}]$