Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 - \frac{1}{6}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $\frac{1}{6}$ de $0$ .

$- \frac{1}{6}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 6) [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $- (1 \cdot 6)$ .

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Étape 7.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$- 1 \cdot 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 8

Multipliez $- 6$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{3}) \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (- \frac{1}{3}) \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (\frac{- 1}{3}) \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 (- 2) \frac{- 1}{3} \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 0 & - 2 \cdot - 1 \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ - 6 (- \frac{1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ - 6 (\frac{- 1}{2}) & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 (- 3) \frac{- 1}{2} & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2} & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ - 3 \cdot - 1 & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 3 & - 6 (\frac{1}{6}) \end{array}]$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 3 & 6 (- 1) \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 3 & 6 \cdot - 1 \frac{1}{6} \end{array}]$

Étape 9.6.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array}]$