Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 0.4 & 0.2 & 0.4 \\ 0.3 & 0.45 & 0.25 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.45 & 0.25 \\ 0.1 & 0.45 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0.4 | \begin{array}{c} 0.45 & 0.25 \\ 0.1 & 0.45 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$0.4 | \begin{array}{c} 0.45 & 0.25 \\ 0.1 & 0.45 \end{array} | - 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 0.45 & 0.25 \\ 0.1 & 0.45 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.4 (0.45 \cdot 0.45 - 0.1 \cdot 0.25) - 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $0.45$ par $0.45$ .

$0.4 (0.2025 - 0.1 \cdot 0.25) - 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.2.2.1.2

Multipliez $- 0.1$ par $0.25$ .

$0.4 (0.2025 - 0.025) - 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $0.025$ de $0.2025$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 0.3 & 0.25 \\ 0.45 & 0.45 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 (0.3 \cdot 0.45 - 0.45 \cdot 0.25) + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $0.3$ par $0.45$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 (0.135 - 0.45 \cdot 0.25) + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- 0.45$ par $0.25$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 (0.135 - 0.1125) + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $0.1125$ de $0.135$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 | \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 0.3 & 0.45 \\ 0.45 & 0.1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 (0.3 \cdot 0.1 - 0.45 \cdot 0.45)$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $0.3$ par $0.1$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 (0.03 - 0.45 \cdot 0.45)$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 0.45$ par $0.45$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 (0.03 - 0.2025)$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $0.2025$ de $0.03$ .

$0.4 \cdot 0.1775 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 \cdot - 0.1725$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Multipliez $0.4$ par $0.1775$ .

$0.071 - 0.2 \cdot 0.0225 + 0.4 \cdot - 0.1725$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 0.2$ par $0.0225$ .

$0.071 - 0.0045 + 0.4 \cdot - 0.1725$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $0.4$ par $- 0.1725$ .

$0.071 - 0.0045 - 0.069$

Étape 1.5.2

Soustrayez $0.0045$ de $0.071$ .

$0.0665 - 0.069$

Étape 1.5.3

Soustrayez $0.069$ de $0.0665$ .

$- 0.0025$

Étape 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 0.4 & 0.2 & 0.4 & 1 & 0 & 0 \\ 0.3 & 0.45 & 0.25 & 0 & 1 & 0 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.4}{0.4} & \frac{0.2}{0.4} & \frac{0.4}{0.4} & \frac{1}{0.4} & \frac{0}{0.4} & \frac{0}{0.4} \\ 0.3 & 0.45 & 0.25 & 0 & 1 & 0 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0.3 & 0.45 & 0.25 & 0 & 1 & 0 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 0.3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0.3 - 0.3 \cdot 1 & 0.45 - 0.3 \cdot 0.5 & 0.25 - 0.3 \cdot 1 & 0 - 0.3 \cdot 2.5 & 1 - 0.3 \cdot 0 & 0 - 0.3 \cdot 0 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3 & - 0.05 & - 0.75 & 1 & 0 \\ 0.45 & 0.1 & 0.45 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.45 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 0.45 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3 & - 0.05 & - 0.75 & 1 & 0 \\ 0.45 - 0.45 \cdot 1 & 0.1 - 0.45 \cdot 0.5 & 0.45 - 0.45 \cdot 1 & 0 - 0.45 \cdot 2.5 & 0 - 0.45 \cdot 0 & 1 - 0.45 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3 & - 0.05 & - 0.75 & 1 & 0 \\ 0 & - 0.125 & 0 & - 1.125 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ \frac{0}{0.3} & \frac{0.3}{0.3} & \frac{- 0.05}{0.3} & \frac{- 0.75}{0.3} & \frac{1}{0.3} & \frac{0}{0.3} \\ 0 & - 0.125 & 0 & - 1.125 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1\overline{6} & - 2.5 & 3.\overline{3} & 0 \\ 0 & - 0.125 & 0 & - 1.125 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.125 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.125 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1\overline{6} & - 2.5 & 3.\overline{3} & 0 \\ 0 + 0.125 \cdot 0 & - 0.125 + 0.125 \cdot 1 & 0 + 0.125 \cdot - 0.1\overline{6} & - 1.125 + 0.125 \cdot - 2.5 & 0 + 0.125 \cdot 3.\overline{3} & 1 + 0.125 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1\overline{6} & - 2.5 & 3.\overline{3} & 0 \\ 0 & 0 & - 0.0208\overline{3} & - 1.4375 & 0.41\overline{6} & 1 \end{array}]$

Étape 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{- 0.0208\overline{3}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{- 0.0208\overline{3}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1\overline{6} & - 2.5 & 3.\overline{3} & 0 \\ \frac{0}{- 0.0208\overline{3}} & \frac{0}{- 0.0208\overline{3}} & \frac{- 0.0208\overline{3}}{- 0.0208\overline{3}} & \frac{- 1.4375}{- 0.0208\overline{3}} & \frac{0.41\overline{6}}{- 0.0208\overline{3}} & \frac{1}{- 0.0208\overline{3}} \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.1\overline{6} & - 2.5 & 3.\overline{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.1\overline{6} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.1\overline{6} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 + 0.1\overline{6} \cdot 0 & 1 + 0.1\overline{6} \cdot 0 & - 0.1\overline{6} + 0.1\overline{6} \cdot 1 & - 2.5 + 0.1\overline{6} \cdot 69 & 3.\overline{3} + 0.1\overline{6} \cdot - 20 & 0 + 0.1\overline{6} \cdot - 48 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 1 & 2.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 9 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0.5 - 0 & 1 - 1 & 2.5 - 69 & 0 + 20 & 0 + 48 \\ 0 & 1 & 0 & 9 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0.5 & 0 & - 66.5 & 20 & 48 \\ 0 & 1 & 0 & 9 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 0.5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0.5 \cdot 0 & 0.5 - 0.5 \cdot 1 & 0 - 0.5 \cdot 0 & - 66.5 - 0.5 \cdot 9 & 20 - 0.5 \cdot 0 & 48 - 0.5 \cdot - 8 \\ 0 & 1 & 0 & 9 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 4.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 71 & 20 & 52 \\ 0 & 1 & 0 & 9 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 1 & 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$

Étape 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - 71 & 20 & 52 \\ 9 & 0 & - 8 \\ 69 & - 20 & - 48 \end{array}]$