Ensembles finis Exemples

$M = [\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot - 1 - 2 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 - 2 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 - 6$

Étape 2.2.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} [\begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{4}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{1}{4}) & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 3$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 3 (\frac{1}{4}) \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{4} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.6.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.6.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

Étape 7.7

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{- - 1}{2} \end{array}]$

Étape 7.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$