Ensembles finis Exemples

$A = [\begin{array}{c} 6 & 5 \\ 6 & 7 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$6 \cdot 7 - 6 \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$42 - 6 \cdot 5$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$42 - 30$

Étape 2.2.2

Soustrayez $30$ de $42$ .

$12$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{12} [\begin{array}{c} 7 & - 5 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{12}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{12} \cdot 7 & \frac{1}{12} \cdot - 5 \\ \frac{1}{12} \cdot - 6 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{1}{12} \cdot - 5 \\ \frac{1}{12} \cdot - 6 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{12}$ et $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & \frac{- 5}{12} \\ \frac{1}{12} \cdot - 6 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{1}{12} \cdot - 6 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{1}{6 (2)} \cdot - 6 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.4.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ \frac{- 1}{2} & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{12} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6 (2)} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.7.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{12} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$