Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 7 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 7 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} - 4 & 7 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} - 4 & 7 \\ 1 & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 4 & 7 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (- 4 \cdot 1 - 1 \cdot 7) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$5 (- 4 - 1 \cdot 7) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$5 (- 4 - 7) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez $7$ de $- 4$ .

$5 \cdot - 11 - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & 7 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 11 - 3 (- 3 \cdot 1 - 5 \cdot 7) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$5 \cdot - 11 - 3 (- 3 - 5 \cdot 7) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$5 \cdot - 11 - 3 (- 3 - 35) - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $35$ de $- 3$ .

$5 \cdot - 11 - 3 \cdot - 38 - 2 | \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 11 - 3 \cdot - 38 - 2 (- 3 \cdot 1 - 5 \cdot - 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$5 \cdot - 11 - 3 \cdot - 38 - 2 (- 3 - 5 \cdot - 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$5 \cdot - 11 - 3 \cdot - 38 - 2 (- 3 + 20)$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 3$ et $20$ .

$5 \cdot - 11 - 3 \cdot - 38 - 2 \cdot 17$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $5$ par $- 11$ .

$- 55 - 3 \cdot - 38 - 2 \cdot 17$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 38$ .

$- 55 + 114 - 2 \cdot 17$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$- 55 + 114 - 34$

Étape 5.2

Additionnez $- 55$ et $114$ .

$59 - 34$

Étape 5.3

Soustrayez $34$ de $59$ .

$25$