Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 & 4319 \\ 3000 & 0 & 0 & 3003 \\ 2000 & 900 & 90 & 2996 \\ 1000 & 0 & 10 & 1015 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 3000 | \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4000 & 10 & 4319 \\ 2000 & 90 & 2996 \\ 1000 & 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4000 & 10 & 4319 \\ 2000 & 90 & 2996 \\ 1000 & 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4000 & 300 & 4319 \\ 2000 & 900 & 2996 \\ 1000 & 0 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 4319 \\ 2000 & 900 & 2996 \\ 1000 & 0 & 1015 \end{array} |$

Étape 1.9

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 1.10

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 1.11

Add the terms together.

$- 3000 | \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4000 & 10 & 4319 \\ 2000 & 90 & 2996 \\ 1000 & 10 & 1015 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 4319 \\ 2000 & 900 & 2996 \\ 1000 & 0 & 1015 \end{array} | + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4000 & 10 & 4319 \\ 2000 & 90 & 2996 \\ 1000 & 10 & 1015 \end{array} |$ .

$- 3000 | \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 4319 \\ 2000 & 900 & 2996 \\ 1000 & 0 & 1015 \end{array} | + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4000 & 300 & 4319 \\ 2000 & 900 & 2996 \\ 1000 & 0 & 1015 \end{array} |$ .

$- 3000 | \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} | + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 300 & 10 & 4319 \\ 900 & 90 & 2996 \\ 0 & 10 & 1015 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 90 & 2996 \\ 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$300 | \begin{array}{c} 90 & 2996 \\ 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 4.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 4.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} |$

Étape 4.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 90 & 2996 \end{array} |$

Étape 4.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 90 & 2996 \end{array} |$

Étape 4.1.9

Add the terms together.

$- 3000 (300 | \begin{array}{c} 90 & 2996 \\ 10 & 1015 \end{array} | - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 90 & 2996 \end{array} |) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 90 & 2996 \end{array} |$ .

$- 3000 (300 | \begin{array}{c} 90 & 2996 \\ 10 & 1015 \end{array} | - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 90 & 2996 \\ 10 & 1015 \end{array} |$ .

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Étape 4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3000 (300 (90 \cdot 1015 - 10 \cdot 2996) - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $90$ par $1015$ .

$- 3000 (300 (91350 - 10 \cdot 2996) - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $2996$ .

$- 3000 (300 (91350 - 29960) - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $29960$ de $91350$ .

$- 3000 (300 \cdot 61390 - 900 | \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} | + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 10 & 4319 \\ 10 & 1015 \end{array} |$ .

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Étape 4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3000 (300 \cdot 61390 - 900 (10 \cdot 1015 - 10 \cdot 4319) + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1.1

Multipliez $10$ par $1015$ .

$- 3000 (300 \cdot 61390 - 900 (10150 - 10 \cdot 4319) + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $4319$ .

$- 3000 (300 \cdot 61390 - 900 (10150 - 43190) + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $43190$ de $10150$ .

$- 3000 (300 \cdot 61390 - 900 \cdot - 33040 + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Multipliez $300$ par $61390$ .

$- 3000 (18417000 - 900 \cdot - 33040 + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 900$ par $- 33040$ .

$- 3000 (18417000 + 29736000 + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.5.2

Additionnez $18417000$ et $29736000$ .

$- 3000 (48153000 + 0) + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 4.5.3

Additionnez $48153000$ et $0$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 | \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 4000 & 300 & 10 \\ 2000 & 900 & 90 \\ 1000 & 0 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2000 & 90 \\ 1000 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 300 | \begin{array}{c} 2000 & 90 \\ 1000 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 2000 & 90 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 2000 & 90 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 | \begin{array}{c} 2000 & 90 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 2000 & 90 \end{array} |)$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 2000 & 90 \end{array} |$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 | \begin{array}{c} 2000 & 90 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0)$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2000 & 90 \\ 1000 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 (2000 \cdot 10 - 1000 \cdot 90) + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $2000$ par $10$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 (20000 - 1000 \cdot 90) + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0)$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 1000$ par $90$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 (20000 - 90000) + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0)$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $90000$ de $20000$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 \cdot - 70000 + 900 | \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} | + 0)$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4000 & 10 \\ 1000 & 10 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 \cdot - 70000 + 900 (4000 \cdot 10 - 1000 \cdot 10) + 0)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $4000$ par $10$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 \cdot - 70000 + 900 (40000 - 1000 \cdot 10) + 0)$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $- 1000$ par $10$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 \cdot - 70000 + 900 (40000 - 10000) + 0)$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $10000$ de $40000$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (- 300 \cdot - 70000 + 900 \cdot 30000 + 0)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Multipliez $- 300$ par $- 70000$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (21000000 + 900 \cdot 30000 + 0)$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $900$ par $30000$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (21000000 + 27000000 + 0)$

Étape 5.5.2

Additionnez $21000000$ et $27000000$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 (48000000 + 0)$

Étape 5.5.3

Additionnez $48000000$ et $0$ .

$- 3000 \cdot 48153000 + 0 + 0 + 3003 \cdot 48000000$

Étape 6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Multipliez $- 3000$ par $48153000$ .

$- 144459000000 + 0 + 0 + 3003 \cdot 48000000$

Étape 6.1.2

Multipliez $3003$ par $48000000$ .

$- 144459000000 + 0 + 0 + 144144000000$

Étape 6.2

Additionnez $- 144459000000$ et $0$ .

$- 144459000000 + 0 + 144144000000$

Étape 6.3

Additionnez $- 144459000000$ et $0$ .

$- 144459000000 + 144144000000$

Étape 6.4

Additionnez $- 144459000000$ et $144144000000$ .

$- 315000000$