Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 4 \\ 2 & 3 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- 3 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} | + 0 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (- 1 \cdot 5 - 3 \cdot 2) + 0 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 3 (- 5 - 3 \cdot 2) + 0 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 3 (- 5 - 6) + 0 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez $6$ de $- 5$ .

$- 3 \cdot - 11 + 0 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot - 11 + 0 + 4 (1 \cdot 3 - 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 \cdot - 11 + 0 + 4 (3 - 2 \cdot - 1)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 \cdot - 11 + 0 + 4 (3 + 2)$

Étape 4.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$- 3 \cdot - 11 + 0 + 4 \cdot 5$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 11$ .

$33 + 0 + 4 \cdot 5$

Étape 5.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$33 + 0 + 20$

Étape 5.2

Additionnez $33$ et $0$ .

$33 + 20$

Étape 5.3

Additionnez $33$ et $20$ .

$53$