Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & - 14 & - 4 \\ 2 & 6 & 0 \\ - 3 & 23 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ 23 & 5 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ 23 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 14 \\ - 3 & 23 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 14 \\ - 3 & 23 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ 23 & 5 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 14 \\ - 3 & 23 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & - 14 \\ - 3 & 23 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ 23 & 5 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ 23 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (- 14 \cdot 5 - 23 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 14$ par $5$ .

$- 2 (- 70 - 23 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 23$ par $- 4$ .

$- 2 (- 70 + 92) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 70$ et $92$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (2 \cdot 5 - (- 3 \cdot - 4)) + 0$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - (- 3 \cdot - 4)) + 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 4)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - 1 \cdot 12) + 0$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - 12) + 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $12$ de $10$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 \cdot - 2 + 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 2$ par $22$ .

$- 44 + 6 \cdot - 2 + 0$

Étape 5.1.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- 44 - 12 + 0$

Étape 5.2

Soustrayez $12$ de $- 44$ .

$- 56 + 0$

Étape 5.3

Additionnez $- 56$ et $0$ .

$- 56$