Ensembles finis Exemples

$5 [\begin{array}{c} 6 & - 9 \\ - 3 & - 7 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $5$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 6 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.1

Multipliez $5$ par $6$ .

$[\begin{array}{c} 30 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & - 35 \end{array}]$

Étape 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 4

Find the determinant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$30 \cdot - 35 - (- 15 \cdot - 45)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $30$ par $- 35$ .

$- 1050 - (- 15 \cdot - 45)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 15 \cdot - 45)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 15$ par $- 45$ .

$- 1050 - 1 \cdot 675$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $675$ .

$- 1050 - 675$

Étape 4.2.2

Soustrayez $675$ de $- 1050$ .

$- 1725$

Étape 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Étape 8

Multipliez $- \frac{1}{1725}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1725}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.1.2

Factorisez $5$ à partir de $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (345)} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 35$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{345} \cdot - 7 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.2

Associez $\frac{- 1}{345}$ et $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 9.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1725}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.4.2

Factorisez $15$ à partir de $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.4.3

Factorisez $15$ à partir de $45$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.4.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.4.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{115} \cdot 3 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.5

Associez $\frac{- 1}{115}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1 \cdot 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 9.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1725}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.8.2

Factorisez $15$ à partir de $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.10

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 9.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1725}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.10.2

Factorisez $15$ à partir de $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 30 \end{array}]$

Étape 9.10.3

Factorisez $15$ à partir de $30$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Étape 9.10.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Étape 9.10.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{115} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 9.11

Associez $\frac{- 1}{115}$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1 \cdot 2}{115} \end{array}]$

Étape 9.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 2}{115} \end{array}]$

Étape 9.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{2}{115} \end{array}]$