Ensembles finis Exemples

$4 A = [\begin{array}{c} 9 & 4 \\ 7 & 8 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$9 \cdot 8 - 7 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $9$ par $8$ .

$72 - 7 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$72 - 28$

Étape 2.2.2

Soustrayez $28$ de $72$ .

$44$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{44} [\begin{array}{c} 8 & - 4 \\ - 7 & 9 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{44}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{44} \cdot 8 & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 (11)} \cdot 8 & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 2) & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot 2) & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 2 & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{11}$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{1}{44} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{1}{4 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot - 1) \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{1}{4 \cdot 11} \cdot (4 \cdot - 1) \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 1 \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{11}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & \frac{- 1}{11} \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & - \frac{1}{11} \\ \frac{1}{44} \cdot - 7 & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.6

Associez $\frac{1}{44}$ et $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & - \frac{1}{11} \\ \frac{- 7}{44} & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & - \frac{1}{11} \\ - \frac{7}{44} & \frac{1}{44} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 6.8

Associez $\frac{1}{44}$ et $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{11} & - \frac{1}{11} \\ - \frac{7}{44} & \frac{9}{44} \end{array}]$