Ensembles finis Exemples

$3 X = [\begin{array}{c} \frac{17}{22} & \frac{31}{110} \\ - \frac{4}{11} & \frac{16}{55} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{17}{22} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$\frac{17}{2 (11)} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{17}{11} \cdot \frac{8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{17}{11}$ par $\frac{8}{55}$ .

$\frac{17 \cdot 8}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $17$ par $8$ .

$\frac{136}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $11$ par $55$ .

$\frac{136}{605} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{11}$ dans le numérateur.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 (- 2)}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Étape 2.2.1.5.3

Factorisez $2$ à partir de $110$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Étape 2.2.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Étape 2.2.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 2}{11} \cdot \frac{31}{55})$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $\frac{- 2}{11}$ par $\frac{31}{55}$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 2 \cdot 31}{11 \cdot 55}$

Étape 2.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $31$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{11 \cdot 55}$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $11$ par $55$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{605}$

Étape 2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{136}{605} - - \frac{62}{605}$

Étape 2.2.1.10

Multipliez $- - \frac{62}{605}$ .

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Étape 2.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{136}{605} + 1 (\frac{62}{605})$

Étape 2.2.1.10.2

Multipliez $\frac{62}{605}$ par $1$ .

$\frac{136}{605} + \frac{62}{605}$

Étape 2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{136 + 62}{605}$

Étape 2.2.3

Additionnez $136$ et $62$ .

$\frac{198}{605}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $198$ et $605$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $11$ à partir de $198$ .

$\frac{11 (18)}{605}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $11$ à partir de $605$ .

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{55}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{18}{55}} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{55}{18}) [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $\frac{55}{18}$ par $1$ .

$\frac{55}{18} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{55}{18}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $55$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (9)} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 8 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{9}$ et $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $55$ .

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Étape 8.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{31}{110}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{110} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.4.2

Factorisez $55$ à partir de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 (2)} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{1}{18} \cdot \frac{- 31}{2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.5

Multipliez $\frac{1}{18}$ par $\frac{- 31}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{18 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.6

Multipliez $18$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 8.8.1

Factorisez $11$ à partir de $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{18} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.9.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 (9)} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.9.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.9.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.9.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{9} \cdot 2 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.10

Associez $\frac{5}{9}$ et $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5 \cdot 2}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.11

Multipliez $5$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 8.12.1

Factorisez $11$ à partir de $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Étape 8.12.2

Factorisez $11$ à partir de $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Étape 8.12.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Étape 8.12.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5}{18} \cdot \frac{17}{2} \end{array}]$

Étape 8.13

Multipliez $\frac{5}{18}$ par $\frac{17}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Étape 8.14

Multipliez $5$ par $17$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Étape 8.15

Multipliez $18$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{36} \end{array}]$