Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 5)$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 - (- 2 \cdot 5)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 5)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 12 - - 10$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$- 12 + 10$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 12$ et $10$ .

$- 2$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} - 4 & - 5 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} - 4 & - 5 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2)) & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2) & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 5 (\frac{1}{2}) \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ \frac{- 1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & - 3 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Étape 7.5.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & \frac{- 3}{2} \end{array}]$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{5}{2} \\ - 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$