Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 8 & 7 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 7 - 8 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$- 21 - 8 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- 21 - 24$

Étape 2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 21$ .

$- 45$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 45} [\begin{array}{c} 7 & - 3 \\ - 8 & - 3 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{45} [\begin{array}{c} 7 & - 3 \\ - 8 & - 3 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{45}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{45} \cdot 7 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{45} \cdot 7$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 7 (\frac{1}{45}) & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{45}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 7}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{45}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 (15)} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{15}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- - 1}{15} \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{45} \cdot - 8$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ 8 (\frac{1}{45}) & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Associez $8$ et $\frac{1}{45}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{45}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 (15)} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.7.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.7.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{15} \cdot - 1 \end{array}]$

Étape 7.8

Associez $\frac{- 1}{15}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- - 1}{15} \end{array}]$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{1}{15} \end{array}]$