Ensembles finis Exemples

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

Étape 1

Adding

6

$6$ to a

2 \times 2

$2 \times 2$ square matrix is the same as adding

6

$6$ times the

2 \times 2

$2 \times 2$ identity matrix.

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez

6

$6$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.1

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2

Multipliez

6

$6$ par

0

$0$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez

6

$6$ par

0

$0$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

Étape 4

Additionnez les éléments correspondants.

[\begin{matrix} 5 + 6 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Étape 5

Simplify each element.

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Étape 5.1

Additionnez

5

$5$ et

6

$6$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Étape 5.2

Additionnez

9

$9$ et

0

$0$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Étape 5.3

Additionnez

2

$2$ et

0

$0$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

Étape 5.4

Additionnez

3

$3$ et

6

$6$ .

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

Étape 6

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 7

Find the determinant.

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Étape 7.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

11 \cdot 9 - 2 \cdot 9

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

Étape 7.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez

11

$11$ par

9

$9$ .

99 - 2 \cdot 9

$99 - 2 \cdot 9$

Étape 7.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

9

$9$ .

99 - 18

$99 - 18$

99 - 18

$99 - 18$

Étape 7.2.2

Soustrayez

18

$18$ de

99

$99$ .

81

$81$

81

$81$

81

$81$

Étape 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{81} [\begin{matrix} 9 & - 9 - 2 & 11 \end{matrix}]

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

Étape 10

Multipliez

\frac{1}{81}

$\frac{1}{81}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de

9

$9$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez

9

$9$ à partir de

81

$81$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de

$9$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez

$9$ à partir de

$81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.2.2

Factorisez

$9$ à partir de

$- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.3

Associez

$\frac{1}{9}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.5

Associez

$\frac{1}{81}$ et

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 11.7

Associez

$\frac{1}{81}$ et

$11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$