Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 7 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$6 \cdot 7 - 2 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$42 - 2 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$42 - 8$

Étape 2.2.2

Soustrayez $8$ de $42$ .

$34$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{34} [\begin{array}{c} 7 & - 4 \\ - 2 & 6 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{34}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{34} \cdot 7 & \frac{1}{34} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{34}$ et $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{34} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 (17)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{1}{17} \cdot - 2 \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{17}$ et $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & \frac{- 2}{17} \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{34} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 (17)} \cdot - 2 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{1}{17} \cdot - 1 & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.6

Associez $\frac{1}{17}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ \frac{- 1}{17} & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{34} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 (17)} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 6.8.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Étape 6.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{2 \cdot 17} \cdot (2 \cdot 3) \end{array}]$

Étape 6.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{1}{17} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 6.9

Associez $\frac{1}{17}$ et $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{34} & - \frac{2}{17} \\ - \frac{1}{17} & \frac{3}{17} \end{array}]$