Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 6 & 4 \\ 10 & - 5 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 6 \cdot - 5 - 10 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$30 - 10 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$30 - 40$

Étape 2.2.2

Soustrayez $40$ de $30$ .

$- 10$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} - 5 & - 4 \\ - 10 & - 6 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} - 5 & - 4 \\ - 10 & - 6 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{10}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot - 5 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{10} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.4.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{5} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.5

Associez $\frac{- 1}{5}$ et $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- - 2}{5} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.7.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.9.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 6 \end{array}]$

Étape 7.9.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3) \end{array}]$

Étape 7.9.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3) \end{array}]$

Étape 7.9.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot - 3 \end{array}]$

Étape 7.10

Associez $\frac{- 1}{5}$ et $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{- - 3}{5} \end{array}]$

Étape 7.11

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{5} \\ 1 & \frac{3}{5} \end{array}]$