Ensembles finis Exemples

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $M$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.1

Déplacez $3$ à gauche de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez $M$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez $M$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

Étape 2.4

Déplacez $5$ à gauche de $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

Étape 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 4

Find the determinant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 M (5 M) - M \cdot M$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $M$ par $M$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $M$ .

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $M$ par $M$ .

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 M^{2} - M \cdot M$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $M$ par $M$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.4.1

Déplacez $M$ .

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $M$ par $M$ .

$15 M^{2} - M^{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $M^{2}$ de $15 M^{2}$ .

$14 M^{2}$

Étape 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{14 M^{2}}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.2

Associez $5$ et $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $M$ à partir de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 8.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{14 M^{2}}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.5.2

Factorisez $M$ à partir de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 8.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{14 M^{2}}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.8.2

Factorisez $M$ à partir de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Étape 8.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Étape 8.11

Associez $3$ et $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Étape 8.12

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 8.12.1

Factorisez $M$ à partir de $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Étape 8.12.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Étape 8.12.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$