Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Développez $(1 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 8$

Étape 5.2.2

Soustrayez $8$ de $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 6$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 3 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 6$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 6 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Additionnez $9$ et $24$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Forme décimale :

$λ = 4.37228132 \dots, - 1.37228132 \dots$