Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.13

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.2.1.1

Développez $(2 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Étape 5.5.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - - 5) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 5) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 9) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (1 (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.1.1

Multipliez $2 - λ$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Étape 5.5.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ - - 5) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ + 5) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2.2

Additionnez $2$ et $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (1 \cdot - 1 - - (2 - λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - - (2 - λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 1 \cdot 2 - - λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 - - λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.4

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 + 1 λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.4.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 + λ))) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - - 2 - λ)) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 + 2 - λ)) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (1 - λ)) + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.1

Développez $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 0 - λ (1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.2.1

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.2

Multipliez $- 4 λ$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.2.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.1.2.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.2.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2.8

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 9 λ + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.3

Additionnez $λ^{2}$ et $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 9 λ + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.4

Soustrayez $9 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.5

Multipliez $- λ + 7$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 - 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 + 2 λ - 2 \cdot 1) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 + 2 λ - 2) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Soustrayez $λ$ de $- 13 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 14 λ + 9 - λ^{3} + 7 + 2 λ - 2) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Additionnez $- 14 λ$ et $2 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ + 9 - λ^{3} + 7 - 2) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Additionnez $9$ et $7$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 16 - 2) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $2$ de $16$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 14) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.6

Déplacez $- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - λ^{3} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Étape 5.5.5.7

Remettez dans l’ordre $5 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $0 - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Soustrayez $λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ de $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $- λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $- λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Étape 5.6.3

Simplifiez

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Étape 5.6.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Étape 5.6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Étape 5.6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 14$

Étape 5.6.3.4

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.4.1

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.4.1.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.1.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.4.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.3

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.4.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.4.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Étape 5.6.4.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.4.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - 14 λ$

Étape 5.6.4.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - 14 λ$

Étape 5.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} + 12 λ^{2} - 14 λ$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 5 λ^{3} + 12 λ^{2} - 14 λ = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$λ \approx 0, 2.43287625$