Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 + 0 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Additionnez $0.9$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0.4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.1 - λ) (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Développez $(0.1 - λ) (0.6 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.1 (0.6 - λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1.1

Multipliez $0.1$ par $0.6$ .

$p (λ) = 0.06 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.3

Multipliez $0.6$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.2.2

Soustrayez $0.6 λ$ de $- 0.1 λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 0.4$ par $0.9$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.36$

Étape 5.2.2

Soustrayez $0.36$ de $0.06$ .

$p (λ) = - 0.7 λ + λ^{2} - 0.3$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 0.7 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 0.7 λ - 0.3$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 0.7 λ - 0.3 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 0.7$ et $c = - 0.3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{0.7 \pm \sqrt{{(- 0.7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Élevez $- 0.7$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 0.3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 0.3$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 + 1.2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Additionnez $0.49$ et $1.2$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{1.69}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $1.69$ comme ${1.3}^{2}$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{{1.3}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2}$

Étape 7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = 1, - 0.3$