Ensembles finis Exemples

${}_{100}C_{18}$

Étape 1

Évaluez ${}_{100}C_{18}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{100!}{(100 - 18)! 18!}$

Étape 2

Soustrayez $18$ de $100$ .

$\frac{100!}{(82)! 18!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{100!}{(82)! 18!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $100!$ comme $100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!$ .

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!}{(82)! 18!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $82!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82!}{(82)! 18!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $100$ par $99$ .

$\frac{9900 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $9900$ par $98$ .

$\frac{970200 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $970200$ par $97$ .

$\frac{94109400 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $94109400$ par $96$ .

$\frac{9034502400 \cdot 95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $9034502400$ par $95$ .

$\frac{858277728000 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $858277728000$ par $94$ .

$\frac{80678106432000 \cdot 93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $80678106432000$ par $93$ .

$\frac{7503063898176000 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $7503063898176000$ par $92$ .

$\frac{690281878632192000 \cdot 91 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $690281878632192000$ par $91$ .

$\frac{62815650955529472000 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.10

Multipliez $62815650955529472000$ par $90$ .

$\frac{5653408585997652480000 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.11

Multipliez $5653408585997652480000$ par $89$ .

$\frac{503153364153791070720000 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.12

Multipliez $503153364153791070720000$ par $88$ .

$\frac{44277496045533614223360000 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.13

Multipliez $44277496045533614223360000$ par $87$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 86 \cdot 85 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.14

Multipliez $85$ par $86$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 7310 \cdot 84 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.15

Multipliez $84$ par $7310$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 614040 \cdot 83}{18!}$

Étape 3.3.16

Multipliez $83$ par $614040$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{18!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $18!$ en $18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $18$ par $17$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{306 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $306$ par $16$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{4896 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $4896$ par $15$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{73440 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $73440$ par $14$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1028160 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $1028160$ par $13$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{13366080 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $13366080$ par $12$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{160392960 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $160392960$ par $11$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1764322560 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $1764322560$ par $10$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{17643225600 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $17643225600$ par $9$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{158789030400 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.10

Multipliez $158789030400$ par $8$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1270312243200 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.11

Multipliez $1270312243200$ par $7$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{8892185702400 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.12

Multipliez $8892185702400$ par $6$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{53353114214400 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13

Multipliez $53353114214400$ par $5$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{266765571072000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.14

Multipliez $266765571072000$ par $4$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{1067062284288000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.15

Multipliez $1067062284288000$ par $3$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{3201186852864000 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.16

Multipliez $3201186852864000$ par $2$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{6402373705728000 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.17

Multipliez $6402373705728000$ par $1$ .

$\frac{3852142155961424437432320000 \cdot 50965320}{6402373705728000}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $3852142155961424437432320000$ et $6402373705728000$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $62768369664000$ à partir de $3852142155961424437432320000 \cdot 50965320$ .

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{6402373705728000}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $62768369664000$ à partir de $6402373705728000$ .

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{62768369664000 (102)}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{62768369664000 (61370753718505 \cdot 50965320)}{62768369664000 \cdot 102}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{61370753718505 \cdot 50965320}{102}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $50965320$ et $102$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $102$ à partir de $61370753718505 \cdot 50965320$ .

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $102$ à partir de $102$ .

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102 (1)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{102 (61370753718505 \cdot 499660)}{102 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{61370753718505 \cdot 499660}{1}$

Étape 3.6.2.4

Divisez $61370753718505 \cdot 499660$ par $1$ .

$61370753718505 \cdot 499660$

Étape 3.7

Multipliez $61370753718505$ par $499660$ .

$30664510802988208300$