Ensembles finis Exemples

${}_{120}C_{10}$

Étape 1

Évaluez

${}_{120}C_{10}$ en utilisant la formule

${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{120!}{(120 - 10)! 10!}$

Étape 2

Soustrayez

$10$ de

$120$ .

$\frac{120!}{(110)! 10!}$

Étape 3

Simplifiez

$\frac{120!}{(110)! 10!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez

$120!$ comme

$120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!$ .

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!}{(110)! 10!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de

$110!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111 \cdot 110!}{(110)! 10!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{120 \cdot 119 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez

$120$ par

$119$ .

$\frac{14280 \cdot 118 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.2

Multipliez

$14280$ par

$118$ .

$\frac{1685040 \cdot 117 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.3

Multipliez

$1685040$ par

$117$ .

$\frac{197149680 \cdot 116 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.4

Multipliez

$197149680$ par

$116$ .

$\frac{22869362880 \cdot 115 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.5

Multipliez

$22869362880$ par

$115$ .

$\frac{2629976731200 \cdot 114 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.6

Multipliez

$2629976731200$ par

$114$ .

$\frac{299817347356800 \cdot 113 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.7

Multipliez

$299817347356800$ par

$113$ .

$\frac{33879360251318400 \cdot 112 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.8

Multipliez

$33879360251318400$ par

$112$ .

$\frac{3794488348147660800 \cdot 111}{10!}$

Étape 3.3.9

Multipliez

$3794488348147660800$ par

$111$ .

$\frac{421188206644390348800}{10!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez

$10!$ en

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{421188206644390348800}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez

$10$ par

$9$ .

$\frac{421188206644390348800}{90 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez

$90$ par

$8$ .

$\frac{421188206644390348800}{720 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez

$720$ par

$7$ .

$\frac{421188206644390348800}{5040 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez

$5040$ par

$6$ .

$\frac{421188206644390348800}{30240 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez

$30240$ par

$5$ .

$\frac{421188206644390348800}{151200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez

$151200$ par

$4$ .

$\frac{421188206644390348800}{604800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez

$604800$ par

$3$ .

$\frac{421188206644390348800}{1814400 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez

$1814400$ par

$2$ .

$\frac{421188206644390348800}{3628800 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez

$3628800$ par

$1$ .

$\frac{421188206644390348800}{3628800}$

Étape 3.5

Divisez

$421188206644390348800$ par

$3628800$ .

$116068178638776$