Ensembles finis Exemples

${}_{196}C_{20}$

Étape 1

Évaluez ${}_{196}C_{20}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{196!}{(196 - 20)! 20!}$

Étape 2

Soustrayez $20$ de $196$ .

$\frac{196!}{(176)! 20!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{196!}{(176)! 20!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $196!$ comme $196 \cdot 195 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177 \cdot 176!$ .

$\frac{196 \cdot 195 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177 \cdot 176!}{(176)! 20!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $176!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $196$ par $195$ .

$\frac{38220 \cdot 194 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $38220$ par $194$ .

$\frac{7414680 \cdot 193 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $7414680$ par $193$ .

$\frac{1431033240 \cdot 192 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $1431033240$ par $192$ .

$\frac{274758382080 \cdot 191 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $274758382080$ par $191$ .

$\frac{52478850977280 \cdot 190 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $52478850977280$ par $190$ .

$\frac{9970981685683200 \cdot 189 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $9970981685683200$ par $189$ .

$\frac{1884515538594124800 \cdot 188 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $1884515538594124800$ par $188$ .

$\frac{354288921255695462400 \cdot 187 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $354288921255695462400$ par $187$ .

$\frac{66252028274815051468800 \cdot 186 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.10

Multipliez $66252028274815051468800$ par $186$ .

$\frac{12322877259115599573196800 \cdot 185 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.11

Multipliez $12322877259115599573196800$ par $185$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 184 \cdot 183 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.12

Multipliez $183$ par $184$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 33672 \cdot 182 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.13

Multipliez $182$ par $33672$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 6128304 \cdot 181 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.14

Multipliez $181$ par $6128304$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1109223024 \cdot 180 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.15

Multipliez $180$ par $1109223024$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 199660144320 \cdot 179 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.16

Multipliez $179$ par $199660144320$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 35739165833280 \cdot 178 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.17

Multipliez $178$ par $35739165833280$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 6361571518323840 \cdot 177}{20!}$

Étape 3.3.18

Multipliez $177$ par $6361571518323840$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $20!$ en $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $20$ par $19$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{380 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $380$ par $18$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{6840 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $6840$ par $17$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{116280 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $116280$ par $16$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{1860480 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $1860480$ par $15$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{27907200 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $27907200$ par $14$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{390700800 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $390700800$ par $13$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{5079110400 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $5079110400$ par $12$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{60949324800 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $60949324800$ par $11$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{670442572800 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.10

Multipliez $670442572800$ par $10$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{6704425728000 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.11

Multipliez $6704425728000$ par $9$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{60339831552000 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.12

Multipliez $60339831552000$ par $8$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{482718652416000 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13

Multipliez $482718652416000$ par $7$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{3379030566912000 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.14

Multipliez $3379030566912000$ par $6$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{20274183401472000 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.15

Multipliez $20274183401472000$ par $5$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{101370917007360000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.16

Multipliez $101370917007360000$ par $4$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{405483668029440000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.17

Multipliez $405483668029440000$ par $3$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{1216451004088320000 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.18

Multipliez $1216451004088320000$ par $2$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{2432902008176640000 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.19

Multipliez $2432902008176640000$ par $1$ .

$\frac{2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680}{2432902008176640000}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $2279732292936385921041408000$ et $2432902008176640000$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $1689515283456000$ à partir de $2279732292936385921041408000 \cdot 1125998158743319680$ .

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{2432902008176640000}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $1689515283456000$ à partir de $2432902008176640000$ .

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{1689515283456000 (1440)}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1689515283456000 (1349341030093 \cdot 1125998158743319680)}{1689515283456000 \cdot 1440}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1349341030093 \cdot 1125998158743319680}{1440}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $1125998158743319680$ et $1440$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $1440$ à partir de $1349341030093 \cdot 1125998158743319680$ .

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $1440$ à partir de $1440$ .

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440 (1)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1440 (1349341030093 \cdot 781943165793972)}{1440 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1349341030093 \cdot 781943165793972}{1}$

Étape 3.6.2.4

Divisez $1349341030093 \cdot 781943165793972$ par $1$ .

$1349341030093 \cdot 781943165793972$

Étape 3.7

Multipliez $1349341030093$ par $781943165793972$ .

$1055107996806619660689999396$