Ensembles finis Exemples

${}_{38}C_{23}$

Étape 1

Évaluez ${}_{38}C_{23}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{38!}{(38 - 23)! 23!}$

Étape 2

Soustrayez $23$ de $38$ .

$\frac{38!}{(15)! 23!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{38!}{(15)! 23!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $38!$ comme $38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23!$ .

$\frac{38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23!}{(15)! 23!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $23!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23!}{(15)! 23!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $38$ par $37$ .

$\frac{1406 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $1406$ par $36$ .

$\frac{50616 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $50616$ par $35$ .

$\frac{1771560 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $1771560$ par $34$ .

$\frac{60233040 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $60233040$ par $33$ .

$\frac{1987690320 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $1987690320$ par $32$ .

$\frac{63606090240 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $63606090240$ par $31$ .

$\frac{1971788797440 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $1971788797440$ par $30$ .

$\frac{59153663923200 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $59153663923200$ par $29$ .

$\frac{1715456253772800 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.10

Multipliez $1715456253772800$ par $28$ .

$\frac{48032775105638400 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.11

Multipliez $48032775105638400$ par $27$ .

$\frac{1296884927852236800 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.12

Multipliez $1296884927852236800$ par $26$ .

$\frac{33719008124158156800 \cdot 25 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.13

Multipliez $33719008124158156800$ par $25$ .

$\frac{842975203103953920000 \cdot 24}{(15)!}$

Étape 3.3.14

Multipliez $842975203103953920000$ par $24$ .

$\frac{20231404874494894080000}{(15)!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $(15)!$ en $15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{20231404874494894080000}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $15$ par $14$ .

$\frac{20231404874494894080000}{210 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $210$ par $13$ .

$\frac{20231404874494894080000}{2730 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $2730$ par $12$ .

$\frac{20231404874494894080000}{32760 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $32760$ par $11$ .

$\frac{20231404874494894080000}{360360 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $360360$ par $10$ .

$\frac{20231404874494894080000}{3603600 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $3603600$ par $9$ .

$\frac{20231404874494894080000}{32432400 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $32432400$ par $8$ .

$\frac{20231404874494894080000}{259459200 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $259459200$ par $7$ .

$\frac{20231404874494894080000}{1816214400 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $1816214400$ par $6$ .

$\frac{20231404874494894080000}{10897286400 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.10

Multipliez $10897286400$ par $5$ .

$\frac{20231404874494894080000}{54486432000 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.11

Multipliez $54486432000$ par $4$ .

$\frac{20231404874494894080000}{217945728000 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.12

Multipliez $217945728000$ par $3$ .

$\frac{20231404874494894080000}{653837184000 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13

Multipliez $653837184000$ par $2$ .

$\frac{20231404874494894080000}{1307674368000 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.14

Multipliez $1307674368000$ par $1$ .

$\frac{20231404874494894080000}{1307674368000}$

Étape 3.5

Divisez $20231404874494894080000$ par $1307674368000$ .

$15471286560$