Ensembles finis Exemples

${}_{29}C_{15}$

Étape 1

Évaluez ${}_{29}C_{15}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{29!}{(29 - 15)! 15!}$

Étape 2

Soustrayez $15$ de $29$ .

$\frac{29!}{(14)! 15!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{29!}{(14)! 15!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $29!$ comme $29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!$ .

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(14)! 15!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $15!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15!}{(14)! 15!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $29$ par $28$ .

$\frac{812 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $812$ par $27$ .

$\frac{21924 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $21924$ par $26$ .

$\frac{570024 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $570024$ par $25$ .

$\frac{14250600 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $14250600$ par $24$ .

$\frac{342014400 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $342014400$ par $23$ .

$\frac{7866331200 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $7866331200$ par $22$ .

$\frac{173059286400 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $173059286400$ par $21$ .

$\frac{3634245014400 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $3634245014400$ par $20$ .

$\frac{72684900288000 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.10

Multipliez $72684900288000$ par $19$ .

$\frac{1381013105472000 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.11

Multipliez $1381013105472000$ par $18$ .

$\frac{24858235898496000 \cdot 17 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.12

Multipliez $24858235898496000$ par $17$ .

$\frac{422590010274432000 \cdot 16}{(14)!}$

Étape 3.3.13

Multipliez $422590010274432000$ par $16$ .

$\frac{6761440164390912000}{(14)!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $(14)!$ en $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{6761440164390912000}{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $14$ par $13$ .

$\frac{6761440164390912000}{182 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $182$ par $12$ .

$\frac{6761440164390912000}{2184 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $2184$ par $11$ .

$\frac{6761440164390912000}{24024 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $24024$ par $10$ .

$\frac{6761440164390912000}{240240 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $240240$ par $9$ .

$\frac{6761440164390912000}{2162160 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $2162160$ par $8$ .

$\frac{6761440164390912000}{17297280 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $17297280$ par $7$ .

$\frac{6761440164390912000}{121080960 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $121080960$ par $6$ .

$\frac{6761440164390912000}{726485760 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $726485760$ par $5$ .

$\frac{6761440164390912000}{3632428800 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.10

Multipliez $3632428800$ par $4$ .

$\frac{6761440164390912000}{14529715200 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.11

Multipliez $14529715200$ par $3$ .

$\frac{6761440164390912000}{43589145600 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.12

Multipliez $43589145600$ par $2$ .

$\frac{6761440164390912000}{87178291200 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.13

Multipliez $87178291200$ par $1$ .

$\frac{6761440164390912000}{87178291200}$

Étape 3.5

Divisez $6761440164390912000$ par $87178291200$ .

$77558760$