Ensembles finis Exemples

$55$ , $86$ , $77$ , $85$ , $54$ , $91$ , $59$ , $73$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{55 + 86 + 77 + 85 + 54 + 91 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $55$ et $86$ .

$\overline{x} = \frac{141 + 77 + 85 + 54 + 91 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2.2

Additionnez $141$ et $77$ .

$\overline{x} = \frac{218 + 85 + 54 + 91 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2.3

Additionnez $218$ et $85$ .

$\overline{x} = \frac{303 + 54 + 91 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2.4

Additionnez $303$ et $54$ .

$\overline{x} = \frac{357 + 91 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2.5

Additionnez $357$ et $91$ .

$\overline{x} = \frac{448 + 59 + 73}{8}$

Étape 1.2.6

Additionnez $448$ et $59$ .

$\overline{x} = \frac{507 + 73}{8}$

Étape 1.2.7

Additionnez $507$ et $73$ .

$\overline{x} = \frac{580}{8}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $580$ et $8$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $580$ .

$\overline{x} = \frac{4 (145)}{8}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\overline{x} = \frac{4 \cdot 145}{4 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\overline{x} = \frac{4 \cdot 145}{4 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\overline{x} = \frac{145}{2}$

Étape 1.4

Divisez.

$\overline{x} = 72.5$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $55$ en une valeur décimale.

$55$

Étape 2.2

Convertissez $86$ en une valeur décimale.

$86$

Étape 2.3

Convertissez $77$ en une valeur décimale.

$77$

Étape 2.4

Convertissez $85$ en une valeur décimale.

$85$

Étape 2.5

Convertissez $54$ en une valeur décimale.

$54$

Étape 2.6

Convertissez $91$ en une valeur décimale.

$91$

Étape 2.7

Convertissez $59$ en une valeur décimale.

$59$

Étape 2.8

Convertissez $73$ en une valeur décimale.

$73$

Étape 2.9

Les valeurs simplifiées sont $55, 86, 77, 85, 54, 91, 59, 73$ .

$55, 86, 77, 85, 54, 91, 59, 73$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(55 - 72.5)}^{2} + {(86 - 72.5)}^{2} + {(77 - 72.5)}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $72.5$ de $55$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 17.5)}^{2} + {(86 - 72.5)}^{2} + {(77 - 72.5)}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 17.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + {(86 - 72.5)}^{2} + {(77 - 72.5)}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $72.5$ de $86$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + {13.5}^{2} + {(77 - 72.5)}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $13.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + {(77 - 72.5)}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $72.5$ de $77$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + {4.5}^{2} + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez $4.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + {(85 - 72.5)}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $72.5$ de $85$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + {12.5}^{2} + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez $12.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + {(54 - 72.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $72.5$ de $54$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + {(- 18.5)}^{2} + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez $- 18.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + {(91 - 72.5)}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.11

Soustrayez $72.5$ de $91$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + {18.5}^{2} + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.12

Élevez $18.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + {(59 - 72.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.13

Soustrayez $72.5$ de $59$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + {(- 13.5)}^{2} + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.14

Élevez $- 13.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + {(73 - 72.5)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez $72.5$ de $73$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + {0.5}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.1.16

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{306.25 + 182.25 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.17

Additionnez $306.25$ et $182.25$ .

$s = \sqrt{\frac{488.5 + 20.25 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.18

Additionnez $488.5$ et $20.25$ .

$s = \sqrt{\frac{508.75 + 156.25 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.19

Additionnez $508.75$ et $156.25$ .

$s = \sqrt{\frac{665 + 342.25 + 342.25 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.20

Additionnez $665$ et $342.25$ .

$s = \sqrt{\frac{1007.25 + 342.25 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.21

Additionnez $1007.25$ et $342.25$ .

$s = \sqrt{\frac{1349.5 + 182.25 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.22

Additionnez $1349.5$ et $182.25$ .

$s = \sqrt{\frac{1531.75 + 0.25}{8 - 1}}$

Étape 5.1.23

Additionnez $1531.75$ et $0.25$ .

$s = \sqrt{\frac{1532}{8 - 1}}$

Étape 5.1.24

Soustrayez $1$ de $8$ .

$s = \sqrt{\frac{1532}{7}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $1532$ et $7$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $1532$ comme $1 (1532)$ .

$s = \sqrt{\frac{1 (1532)}{7}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $7$ comme $1 (7)$ .

$s = \sqrt{\frac{1 \cdot 1532}{1 \cdot 7}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{1 \cdot 1532}{1 \cdot 7}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{1532}{7}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1532}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{1532}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{\sqrt{1532}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $1532$ comme $2^{2} \cdot 383$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $1532$ .

$s = \frac{\sqrt{4 (383)}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$s = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 383}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$s = \frac{2 \sqrt{383}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{2 \sqrt{383}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{383}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{7}$

Étape 5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{2 \sqrt{383} \sqrt{7}}{7}$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{2 \sqrt{7 \cdot 383}}{7}$

Étape 5.7.2

Multipliez $7$ par $383$ .

$s = \frac{2 \sqrt{2681}}{7}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$14.8$