Ensembles finis Exemples

$10$ , $4$ , $3$ , $5$ , $23$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{10 + 4 + 3 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $10$ et $4$ .

$\overline{x} = \frac{14 + 3 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2.2

Additionnez $14$ et $3$ .

$\overline{x} = \frac{17 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2.3

Additionnez $17$ et $5$ .

$\overline{x} = \frac{22 + 23}{5}$

Étape 1.2.4

Additionnez $22$ et $23$ .

$\overline{x} = \frac{45}{5}$

Étape 1.3

Divisez $45$ par $5$ .

$\overline{x} = 9$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $10$ en une valeur décimale.

$10$

Étape 2.2

Convertissez $4$ en une valeur décimale.

$4$

Étape 2.3

Convertissez $3$ en une valeur décimale.

$3$

Étape 2.4

Convertissez $5$ en une valeur décimale.

$5$

Étape 2.5

Convertissez $23$ en une valeur décimale.

$23$

Étape 2.6

Les valeurs simplifiées sont $10, 4, 3, 5, 23$ .

$10, 4, 3, 5, 23$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(10 - 9)}^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $9$ de $10$ .

$s = \sqrt{\frac{1^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$s = \sqrt{\frac{1 + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $9$ de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + {(- 5)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $9$ de $3$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(- 6)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $9$ de $5$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + {(- 4)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $9$ de $23$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + 14^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.11

Additionnez $1$ et $25$ .

$s = \sqrt{\frac{26 + 36 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.12

Additionnez $26$ et $36$ .

$s = \sqrt{\frac{62 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.13

Additionnez $62$ et $16$ .

$s = \sqrt{\frac{78 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.14

Additionnez $78$ et $196$ .

$s = \sqrt{\frac{274}{5 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez $1$ de $5$ .

$s = \sqrt{\frac{274}{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $274$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $274$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (137)}{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 137}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 137}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{137}{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{137}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{137 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.6.2

Multipliez $137$ par $2$ .

$s = \frac{\sqrt{274}}{2}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$8.3$