Ensembles finis Exemples

10

$10$ ,

4

$4$ ,

3

$3$ ,

5

$5$ ,

23

$23$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

¯ x = \frac{10 + 4 + 3 + 5 + 23}{5}

$\overline{x} = \frac{10 + 4 + 3 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez

10

$10$ et

4

$4$ .

¯ x = \frac{14 + 3 + 5 + 23}{5}

$\overline{x} = \frac{14 + 3 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2.2

Additionnez

14

$14$ et

3

$3$ .

¯ x = \frac{17 + 5 + 23}{5}

$\overline{x} = \frac{17 + 5 + 23}{5}$

Étape 1.2.3

Additionnez

17

$17$ et

5

$5$ .

¯ x = \frac{22 + 23}{5}

$\overline{x} = \frac{22 + 23}{5}$

Étape 1.2.4

Additionnez

22

$22$ et

23

$23$ .

¯ x = \frac{45}{5}

$\overline{x} = \frac{45}{5}$

¯ x = \frac{45}{5}

$\overline{x} = \frac{45}{5}$

Étape 1.3

Divisez

45

$45$ par

5

$5$ .

¯ x = 9

$\overline{x} = 9$

¯ x = 9

$\overline{x} = 9$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez

10

$10$ en une valeur décimale.

10

$10$

Étape 2.2

Convertissez

4

$4$ en une valeur décimale.

4

$4$

Étape 2.3

Convertissez

3

$3$ en une valeur décimale.

3

$3$

Étape 2.4

Convertissez

5

$5$ en une valeur décimale.

5

$5$

Étape 2.5

Convertissez

23

$23$ en une valeur décimale.

23

$23$

Étape 2.6

Les valeurs simplifiées sont

10, 4, 3, 5, 23

$10, 4, 3, 5, 23$ .

10, 4, 3, 5, 23

$10, 4, 3, 5, 23$

10, 4, 3, 5, 23

$10, 4, 3, 5, 23$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

s = n \sum i = 1 \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}_{i}^{2}}{n - 1}}

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

s = \sqrt{\frac{{(10 - 9)}^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{{(10 - 9)}^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez

9

$9$ de

10

$10$ .

s = \sqrt{\frac{1^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{1^{2} + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

s = \sqrt{\frac{1 + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{1 + {(4 - 9)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez

9

$9$ de

4

$4$ .

s = \sqrt{\frac{1 + {(- 5)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{1 + {(- 5)}^{2} + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez

- 5

$- 5$ à la puissance

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(3 - 9)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez

9

$9$ de

3

$3$ .

s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(- 6)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + {(- 6)}^{2} + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez

$- 6$ à la puissance

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + {(5 - 9)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez

$9$ de

$5$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + {(- 4)}^{2} + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez

$- 4$ à la puissance

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + {(23 - 9)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez

$9$ de

$23$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + 14^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez

$14$ à la puissance

$2$ .

$s = \sqrt{\frac{1 + 25 + 36 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.11

Additionnez

$1$ et

$25$ .

$s = \sqrt{\frac{26 + 36 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.12

Additionnez

$26$ et

$36$ .

$s = \sqrt{\frac{62 + 16 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.13

Additionnez

$62$ et

$16$ .

$s = \sqrt{\frac{78 + 196}{5 - 1}}$

Étape 5.1.14

Additionnez

$78$ et

$196$ .

$s = \sqrt{\frac{274}{5 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez

$1$ de

$5$ .

$s = \sqrt{\frac{274}{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à

$274$ et

$4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$274$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (137)}{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 137}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 137}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{137}{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez

$\sqrt{\frac{137}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Multipliez

$\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{137}}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{137} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{137 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.6.2

Multipliez

$137$ par

$2$ .

$s = \frac{\sqrt{274}}{2}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$8.3$