Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.353 \\ 1 & 0.237 \\ 2 & 0.203 \\ 3 & 0.113 \\ 4 & 0.094 \\ 5 & 0 \\ 6 & 0 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ ...). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.353$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.353$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.237$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.237$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.203$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.203$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

$0.113$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.113$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.6

$0.094$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.094$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.7

$0$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.8

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.9

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Étape 1.10

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$ .

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Étape 1.10.1

Additionnez $0.353$ et $0.237$ .

$0.59 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Étape 1.10.2

Additionnez $0.59$ et $0.203$ .

$0.793 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0$

Étape 1.10.3

Additionnez $0.793$ et $0.113$ .

$0.906 + 0.094 + 0 + 0$

Étape 1.10.4

Additionnez $0.906$ et $0.094$ .

$1 + 0 + 0$

Étape 1.10.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.10.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.11

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.353 + 0.237 + 0.203 + 0.113 + 0.094 + 0 + 0 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pourraient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$0 \cdot 0.353 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $0$ par $0.353$ .

$0 + 1 \cdot 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.2

Multipliez $0.237$ par $1$ .

$0 + 0.237 + 2 \cdot 0.203 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $0.203$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 3 \cdot 0.113 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $0.113$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 4 \cdot 0.094 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $0.094$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 6 \cdot 0$

Étape 3.7

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $0.237$ .

$0.237 + 0.406 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0.237$ et $0.406$ .

$0.643 + 0.339 + 0.376 + 0 + 0$

Étape 4.3

Additionnez $0.643$ et $0.339$ .

$0.982 + 0.376 + 0 + 0$

Étape 4.4

Additionnez $0.982$ et $0.376$ .

$1.358 + 0 + 0$

Étape 4.5

Additionnez $1.358$ et $0$ .

$1.358 + 0$

Étape 4.6

Additionnez $1.358$ et $0$ .

$1.358$

Étape 5

L’écart-type d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égal à la racine carrée de la variance.

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

$\sqrt{{(0 - (1.358))}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{{(0 - 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.2

Soustrayez $1.358$ de $0$ .

$\sqrt{{(- 1.358)}^{2} \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.3

Élevez $- 1.358$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1.844164 \cdot 0.353 + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.4

Multipliez $1.844164$ par $0.353$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - (1.358))}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(1 - 1.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.6

Soustrayez $1.358$ de $1$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + {(- 0.358)}^{2} \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.7

Élevez $- 0.358$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.128164 \cdot 0.237 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.8

Multipliez $0.128164$ par $0.237$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - (1.358))}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {(2 - 1.358)}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.10

Soustrayez $1.358$ de $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + {0.642}^{2} \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.11

Élevez $0.642$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.412164 \cdot 0.203 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.12

Multipliez $0.412164$ par $0.203$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - (1.358))}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.13

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {(3 - 1.358)}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.14

Soustrayez $1.358$ de $3$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + {1.642}^{2} \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.15

Élevez $1.642$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 2.696164 \cdot 0.113 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.16

Multipliez $2.696164$ par $0.113$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - (1.358))}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.17

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {(4 - 1.358)}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.18

Soustrayez $1.358$ de $4$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + {2.642}^{2} \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.19

Élevez $2.642$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 6.980164 \cdot 0.094 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.20

Multipliez $6.980164$ par $0.094$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - (1.358))}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.21

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {(5 - 1.358)}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.22

Soustrayez $1.358$ de $5$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + {3.642}^{2} \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.23

Élevez $3.642$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 13.264164 \cdot 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.24

Multipliez $13.264164$ par $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - (1.358))}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.25

Multipliez $- 1$ par $1.358$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {(6 - 1.358)}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.26

Soustrayez $1.358$ de $6$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + {4.642}^{2} \cdot 0}$

Étape 7.27

Élevez $4.642$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 21.548164 \cdot 0}$

Étape 7.28

Multipliez $21.548164$ par $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0 + 0}$

Étape 7.29

Simplifiez en ajoutant des zéros.

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Étape 7.29.1

Additionnez $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0$ et $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541 + 0}$

Étape 7.29.2

Additionnez $0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541$ et $0$ .

$\sqrt{0.650\overline{98} + 0.03037486 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Étape 7.30

Additionnez $0.650\overline{98}$ et $0.03037486$ .

$\sqrt{0.68136476 + 0.08366929 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Étape 7.31

Additionnez $0.68136476$ et $0.08366929$ .

$\sqrt{0.76503405 + 0.30466653 + 0.65613541}$

Étape 7.32

Additionnez $0.76503405$ et $0.30466653$ .

$\sqrt{1.06970058 + 0.65613541}$

Étape 7.33

Additionnez $1.06970058$ et $0.65613541$ .

$\sqrt{1.725836}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{1.725836}$

Forme décimale :

$1.31371077 \dots$