Ensembles finis Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 0 & 0.64 \\ 1 & 0.223 \\ 2 & 0.09 \\ 3 & 0.027 \\ 4 & 0.013 \\ 5 & 0.007 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ ...). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.64$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.64$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.223$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.223$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.09$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.09$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

$0.027$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.027$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.6

$0.013$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.013$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.7

$0.007$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.007$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.8

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.9

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Étape 1.10

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$ .

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Étape 1.10.1

Additionnez $0.64$ et $0.223$ .

$0.863 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Étape 1.10.2

Additionnez $0.863$ et $0.09$ .

$0.953 + 0.027 + 0.013 + 0.007$

Étape 1.10.3

Additionnez $0.953$ et $0.027$ .

$0.98 + 0.013 + 0.007$

Étape 1.10.4

Additionnez $0.98$ et $0.013$ .

$0.993 + 0.007$

Étape 1.10.5

Additionnez $0.993$ et $0.007$ .

$1$

Étape 1.11

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.64 + 0.223 + 0.09 + 0.027 + 0.013 + 0.007 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pourraient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$u = 0 \cdot 0.64 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $0$ par $0.64$ .

$u = 0 + 1 \cdot 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3.2

Multipliez $0.223$ par $1$ .

$u = 0 + 0.223 + 2 \cdot 0.09 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $0.09$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 3 \cdot 0.027 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $0.027$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 4 \cdot 0.013 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $0.013$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 5 \cdot 0.007$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $0.007$ .

$u = 0 + 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $0.223$ .

$u = 0.223 + 0.18 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Étape 4.2

Additionnez $0.223$ et $0.18$ .

$u = 0.403 + 0.081 + 0.052 + 0.035$

Étape 4.3

Additionnez $0.403$ et $0.081$ .

$u = 0.484 + 0.052 + 0.035$

Étape 4.4

Additionnez $0.484$ et $0.052$ .

$u = 0.536 + 0.035$

Étape 4.5

Additionnez $0.536$ et $0.035$ .

$u = 0.571$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

${(0 - (0.571))}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

${(0 - 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.2

Soustrayez $0.571$ de $0$ .

${(- 0.571)}^{2} \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.3

Élevez $- 0.571$ à la puissance $2$ .

$0.326041 \cdot 0.64 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.4

Multipliez $0.326041$ par $0.64$ .

$0.20866624 + {(1 - (0.571))}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

$0.20866624 + {(1 - 0.571)}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.6

Soustrayez $0.571$ de $1$ .

$0.20866624 + {0.429}^{2} \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.7

Élevez $0.429$ à la puissance $2$ .

$0.20866624 + 0.184041 \cdot 0.223 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.8

Multipliez $0.184041$ par $0.223$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - (0.571))}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.9

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {(2 - 0.571)}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.10

Soustrayez $0.571$ de $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + {1.429}^{2} \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.11

Élevez $1.429$ à la puissance $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 2.042041 \cdot 0.09 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.12

Multipliez $2.042041$ par $0.09$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - (0.571))}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.13

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {(3 - 0.571)}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.14

Soustrayez $0.571$ de $3$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + {2.429}^{2} \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.15

Élevez $2.429$ à la puissance $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 5.900041 \cdot 0.027 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.16

Multipliez $5.900041$ par $0.027$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - (0.571))}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.17

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {(4 - 0.571)}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.18

Soustrayez $0.571$ de $4$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + {3.429}^{2} \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.19

Élevez $3.429$ à la puissance $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 11.758041 \cdot 0.013 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.20

Multipliez $11.758041$ par $0.013$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - (0.571))}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.21

Multipliez $- 1$ par $0.571$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {(5 - 0.571)}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.22

Soustrayez $0.571$ de $5$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + {4.429}^{2} \cdot 0.007$

Étape 7.1.23

Élevez $4.429$ à la puissance $2$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 19.616041 \cdot 0.007$

Étape 7.1.24

Multipliez $19.616041$ par $0.007$ .

$0.20866624 + 0.04104114 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez $0.20866624$ et $0.04104114$ .

$0.24970738 + 0.18378369 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.24970738$ et $0.18378369$ .

$0.43349107 + 0.1593011 + 0.15285453 + 0.13731228$

Étape 7.2.3

Additionnez $0.43349107$ et $0.1593011$ .

$0.59279218 + 0.15285453 + 0.13731228$

Étape 7.2.4

Additionnez $0.59279218$ et $0.15285453$ .

$0.74564671 + 0.13731228$

Étape 7.2.5

Additionnez $0.74564671$ et $0.13731228$ .

$0.882959$