Ensembles finis Exemples

\begin{matrix} x & P (x) 1 & 0.29 2 & 0.45 3 & 0.12 4 & 0.14 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.29 \\ 2 & 0.45 \\ 3 & 0.12 \\ 4 & 0.14 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.29

$0.29$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.29

$0.29$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.45

$0.45$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.45

$0.45$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

0.12

$0.12$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.12

$0.12$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.5

0.14

$0.14$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.14

$0.14$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.6

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.7

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14$

Étape 1.8

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez

0.29

$0.29$ et

0.45

$0.45$ .

0.74 + 0.12 + 0.14

$0.74 + 0.12 + 0.14$

Étape 1.8.2

Additionnez

0.74

$0.74$ et

0.12

$0.12$ .

0.86 + 0.14

$0.86 + 0.14$

Étape 1.8.3

Additionnez

0.86

$0.86$ et

0.14

$0.14$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.9

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pourraient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez

0.29

$0.29$ par

1

$1$ .

0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Étape 3.2

Multipliez

2

$2$ par

0.45

$0.45$ .

0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Étape 3.3

Multipliez

3

$3$ par

0.12

$0.12$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14$

Étape 3.4

Multipliez

4

$4$ par

0.14

$0.14$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Additionnez

0.29

$0.29$ et

0.9

$0.9$ .

1.19 + 0.36 + 0.56

$1.19 + 0.36 + 0.56$

Étape 4.2

Additionnez

1.19

$1.19$ et

0.36

$0.36$ .

1.55 + 0.56

$1.55 + 0.56$

Étape 4.3

Additionnez

1.55

$1.55$ et

0.56

$0.56$ .

2.11

$2.11$

2.11

$2.11$

Étape 5

L’écart-type d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égal à la racine carrée de la variance.

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2.11

$2.11$ .

\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.2

Soustrayez

2.11

$2.11$ de

1

$1$ .

\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.3

Élevez

- 1.11

$- 1.11$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.4

Multipliez

1.2321

$1.2321$ par

0.29

$0.29$ .

\sqrt{0.357309 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2.11

$2.11$ .

\sqrt{0.357309 + {(2 - 2.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + {(2 - 2.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.6

Soustrayez

2.11

$2.11$ de

2

$2$ .

\sqrt{0.357309 + {(- 0.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + {(- 0.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.7

Élevez

- 0.11

$- 0.11$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{0.357309 + 0.0121 \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.0121 \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.8

Multipliez

0.0121

$0.0121$ par

0.45

$0.45$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.9

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2.11

$2.11$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - 2.11)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - 2.11)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.10

Soustrayez

2.11

$2.11$ de

3

$3$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {0.89}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {0.89}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.11

Élevez

0.89

$0.89$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.7921 \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.7921 \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.12

Multipliez

0.7921

$0.7921$ par

0.12

$0.12$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.13

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2.11

$2.11$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - 2.11)}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - 2.11)}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.14

Soustrayez

2.11

$2.11$ de

4

$4$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {1.89}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {1.89}^{2} \cdot 0.14}$

Étape 7.15

Élevez

1.89

$1.89$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 3.5721 \cdot 0.14}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 3.5721 \cdot 0.14}$

Étape 7.16

Multipliez

3.5721

$3.5721$ par

0.14

$0.14$ .

\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 0.500094}

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 0.500094}$

Étape 7.17

Additionnez

$0.357309$ et

$0.005445$ .

$\sqrt{0.362754 + 0.095052 + 0.500094}$

Étape 7.18

Additionnez

$0.362754$ et

$0.095052$ .

$\sqrt{0.457806 + 0.500094}$

Étape 7.19

Additionnez

$0.457806$ et

$0.500094$ .

$\sqrt{0.9579}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{0.9579}$

Forme décimale :

$0.97872365 \dots$